Cho các tập hợp \(A = \{ x \in \mathbb{N}\mid x < 5\} \); \(B = \left\{ {0;1;2} \right\}\); \(C = \left\{ { - 3;0;1;2} \right\}\). Khi đó:

Biểu diễn các tập hợp dưới dạng khoảng, nửa khoảng:

                                             \(A = \left( { - \infty ;2} \right]\)

                                                   \(B = \left[ {0;4} \right)\)

Áp dụng các quy tắc phép toán tập hợp trên trục số, ta xác định được:

Phép hợp \(A \cup B\): Lấy tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp.

                                       \(A \cup B = \left( { - \infty ;4} \right)\).

 Phép giao \(A \cap B\): Lấy phần giao nhau chung của hai tập hợp.

                                            \(A \cap B = \left[ {0;2} \right]\).

 Phép hiệu \(A\backslash B\): Lấy các phần tử thuộc \(A\) nhưng loại đi những phần tử thuộc \(B\).

                                  \(A\backslash B = \left( { - \infty ;0} \right)\).

Ta có \({\rm{cos}}B = \frac{1}{7}\). Sử dụng máy tính bỏ túi ta tính được: \(\widehat B \approx 81,78678^\circ \).

Đổi sang đơn vị độ, phút: \(\widehat B \approx 81^\circ 47{\rm{'}}\).

Trước tiên, từ \({\rm{cos}}B = \frac{1}{7}\), ta tính giá trị \({\rm{sin}}B\) (vì góc \(B\) của tam giác có \({\rm{sin}}B > 0\)):

\({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}B + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}B = 1 \Rightarrow {\rm{sin}}B = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{7}} \right)}^2}} = \sqrt {1 - \frac{1}{{49}}} = \frac{{\sqrt {48} }}{7} = \frac{{4\sqrt 3 }}{7}\).

Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABC\): \(\frac{{AC}}{{{\rm{sin}}B}} = \frac{{AB}}{{{\rm{sin}}C}}\).

Suy ra \(AC = \frac{{AB \cdot {\rm{sin}}B}}{{{\rm{sin}}C}} = \frac{{7 \cdot \frac{{4\sqrt 3 }}{7}}}{{{\rm{sin}}60^\circ }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = 4\sqrt 3 \cdot \frac{2}{{\sqrt 3 }} = 8{\rm{\;cm}}\).

Vậy số đo góc \(B\) xấp xỉ \(81^\circ 47{\rm{'}}\) và độ dài cạnh \(AC = 8{\rm{\;cm}}\).