Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao 80m sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi 500 km được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất sao cho trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam, trục Oz hướng thẳng đứng lên phía trên (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét). Một máy bay tại vị trí A cách mặt đất 10 km, cách 300 km về phía đông và 200 km về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu.

                                          

Khi đó:

Để chuẩn bị cho một buổi triển lãm quốc tế, các trang sức có giá trị lớn được đặt bảo mật trong các khối chóp tứ giác đều S.ABCD và đặt lên phía trên một trụ hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông (như hình vẽ bên).

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét) sao cho A'(0; 0; 0), A(0; 0; 1), \(B\left( {0;\frac{1}{2};1} \right)\). Biết rằng, ban tổ chức sự kiện dự định dùng các tấm kính cường lực hình tam giác cân có cạnh bên là 60 cm để ráp lại thành khối chóp nói trên. Khi đó, tọa độ điểm S(a; b; c). Tính giá trị của a + b + c (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trong không gian, xét hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt biển (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo trong không gian Oxyz lấy theo km. Một chiếc ra đa đặt tại giàn khoan và một chiếc tàu thám hiểm có tọa độ là (30; 20; −15). Khoảng cách theo đơn vị km từ chiếc ra đa và một chiếc tàu thám hiểm (kết quả làm tròn lấy một chữ số thập phân).

Trong không gian với một hệ trục tọa độ Oxyz cho trước (đơn vị đo lấy theo mét), một công ty xây dựng cần xác định chiều dài của một sợi dây cáp nối giữa hai điểm cao trên hai toàn nhà để lắp đặt hệ thống điện. Tòa nhà thứ nhất có đỉnh ở vị trí A(3; 5; 12) và tòa nhà thứ hai có đỉnh ở vị trí B(8; 2; 20). Hỏi công ty cần chuẩn bị sợi dây cáp có chiều dài tối thiểu là bao nhiêu mét để nối hai đỉnh tòa nhà (làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy theo km, một ra đa phát hiện một máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(1000; 600; 14) đến điểm N(a; b; c) trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì sau 10 phút tiếp theo máy bay đến vị trí điểm Q(1400; 800; 18). Tính a + b + c.

Một chiếc máy ảnh được đặt trên giá đỡ ba chân với điểm đặt E(0; 0; 8) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là A₁(0; 1; 0), \({A_2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2};0} \right),{A_3}\left( {\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2};0} \right)\).