Cho mệnh đề với \(a\) là số nguyên cho trước. Tìm giá trị bé nhất của \(a\) để mệnh đề đúng với \(x = 1\).

Đáp án:

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), suy ra \(G\) là giao điểm của hai đường trung tuyến \(BM\) và \(CN\). Do \(BM \bot CN\) nên tam giác \(GBC\) vuông tại \(G\).

Đặt \(GB = 2x \Rightarrow GM = x\) và \(GC = 2y \Rightarrow GN = y\).

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông \(GBC\):

\(G{B^2} + G{C^2} = B{C^2} \Rightarrow {\left( {2x} \right)^2} + {\left( {2y} \right)^2} = {6^2} \Rightarrow 4{x^2} + 4{y^2} = 36 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 9\)

Xét các tam giác vuông \(GNB\) và \(GMC\):

\(A{B^2} = 4 \cdot B{N^2} = 4 \cdot \left( {G{B^2} + G{N^2}} \right) = 4\left( {4{x^2} + {y^2}} \right) = 16{x^2} + 4{y^2}\)

\(A{C^2} = 4 \cdot C{M^2} = 4 \cdot \left( {G{C^2} + G{M^2}} \right) = 4\left( {4{y^2} + {x^2}} \right) = 4{x^2} + 16{y^2}\)

Suy ra: \(A{B^2} + A{C^2} = 20\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 20 \cdot 9 = 180\)

Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(ABC\) với \(\hat A = {30^ \circ }\):

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{cos}}{30^ \circ }\)

\(36 = 180 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \sqrt 3 \cdot AB \cdot AC = 144 \Rightarrow AB \cdot AC = \frac{{144}}{{\sqrt 3 }} = 48\sqrt 3 \)

Diện tích tam giác \(ABC\) được tính bằng công thức:

\(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{sin}}{30^ \circ } = \frac{1}{2} \cdot 48\sqrt 3 \cdot \frac{1}{2} = 12\sqrt 3 \approx 20,8\)

Đáp số: \(20,8\)

Đáp án:

Ta sử dụng tính chất của hai góc bù nhau: \({\rm{cos}}\left( {{{180}^ \circ } - x} \right) = - {\rm{cos}}x \Rightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{{180}^ \circ } - x} \right) = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\).

Nhóm các số hạng từ hai đầu lại với nhau:

\(P = \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{1^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{179}^ \circ }} \right) + \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{2^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{178}^ \circ }} \right) + ... + \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{89}^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{91}^ \circ }} \right) + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{90^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{180^ \circ }\)

Vì \({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{179^ \circ } = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{1^ \circ }\), nên mỗi nhóm có dạng \(2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\).

\(P = 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{1^ \circ } + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{2^ \circ } + ... + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{89^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{90^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{180^ \circ }\)

\(P = 2\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{1^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{2^ \circ } + ... + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{89}^ \circ }} \right) + {0^2} + {\left( { - 1} \right)^2}\)

Lại sử dụng tính chất góc phụ nhau cho biểu thức trong ngoặc: \({\rm{cos}}\left( {{{90}^ \circ } - x} \right) = {\rm{sin}}x \Rightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{{90}^ \circ } - x} \right) = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x\).

\({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{1^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{2^ \circ } + ... + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{89^ \circ } = \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{1^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{89}^ \circ }} \right) + ... + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{45^ \circ }\)

\( = \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{1^ \circ } + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{1^ \circ }} \right) + \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{2^ \circ } + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{2^ \circ }} \right) + ... + \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{44}^ \circ } + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{{44}^ \circ }} \right) + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{45^ \circ }\)

\( = 44 \cdot 1 + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 44 + \frac{1}{2} = 44,5\)

Thay ngược vào biểu thức \(P\) ta được: \(P = 2 \cdot 44,5 + 0 + 1 = 89 + 1 = 90\).

Đáp số: \(90\)