Để đo khoảng cách từ vị trí \(A\) trên bờ sông đến vị trí \(B\) của con tàu bị mắc cạn gần một cù lao giữa sông, người ta đã sử dụng giác kế. Chọn một vị trí \(C\) cùng nằm trên bờ sông với điểm \(A\), cách \(A\) một khoảng bằng \(50{\rm{m}}\) và đo được các góc \(\widehat {BAC} = {70^ \circ }\), \(\widehat {BCA} = {50^ \circ }\) (như hình vẽ). Khoảng cách \(AB\) gần nhất với giá trị nào sau đây?

Đáp án:

Gọi \(x,y\) lần lượt là diện tích đất trồng dưa lê và dưa vàng (đơn vị: ha, \(x \ge 0,y \ge 0\)).

Từ giả thiết, ta có hệ bất phương trình giới hạn:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 8}\\{20x + 30y \le 180}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 8}\\{2x + 3y \le 18}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.\)

Miền nghiệm của hệ là một đa giác với các đỉnh: \(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {8;0} \right)\), \(B\left( {6;2} \right)\) (giao điểm của \(x + y = 8\) và \(2x + 3y = 18\)), và \(C\left( {0;6} \right)\).

Hàm tiền lãi thu được là: \(F\left( {x,y} \right) = 30x + 40y\) (triệu đồng).

Ta tính giá trị của \(F\left( {x,y} \right)\) tại các đỉnh:

Tại \(O\left( {0;0} \right)\): \(F\left( {0,0} \right) = 0\)

Tại \(A\left( {8;0} \right)\): \(F\left( {8,0} \right) = 30 \cdot 8 = 240\)

Tại \(B\left( {6;2} \right)\): \(F\left( {6,2} \right) = 30 \cdot 6 + 40 \cdot 2 = 180 + 80 = 260\)

Tại \(C\left( {0;6} \right)\): \(F\left( {0,6} \right) = 40 \cdot 6 = 240\)

Vậy số tiền lãi lớn nhất bác An có thể thu được là \(260\) triệu đồng.

Đáp số: \(260\)

Đáp án:

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), suy ra \(G\) là giao điểm của hai đường trung tuyến \(BM\) và \(CN\). Do \(BM \bot CN\) nên tam giác \(GBC\) vuông tại \(G\).

Đặt \(GB = 2x \Rightarrow GM = x\) và \(GC = 2y \Rightarrow GN = y\).

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông \(GBC\):

\(G{B^2} + G{C^2} = B{C^2} \Rightarrow {\left( {2x} \right)^2} + {\left( {2y} \right)^2} = {6^2} \Rightarrow 4{x^2} + 4{y^2} = 36 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 9\)

Xét các tam giác vuông \(GNB\) và \(GMC\):

\(A{B^2} = 4 \cdot B{N^2} = 4 \cdot \left( {G{B^2} + G{N^2}} \right) = 4\left( {4{x^2} + {y^2}} \right) = 16{x^2} + 4{y^2}\)

\(A{C^2} = 4 \cdot C{M^2} = 4 \cdot \left( {G{C^2} + G{M^2}} \right) = 4\left( {4{y^2} + {x^2}} \right) = 4{x^2} + 16{y^2}\)

Suy ra: \(A{B^2} + A{C^2} = 20\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 20 \cdot 9 = 180\)

Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(ABC\) với \(\hat A = {30^ \circ }\):

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{cos}}{30^ \circ }\)

\(36 = 180 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \sqrt 3 \cdot AB \cdot AC = 144 \Rightarrow AB \cdot AC = \frac{{144}}{{\sqrt 3 }} = 48\sqrt 3 \)

Diện tích tam giác \(ABC\) được tính bằng công thức:

\(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{sin}}{30^ \circ } = \frac{1}{2} \cdot 48\sqrt 3 \cdot \frac{1}{2} = 12\sqrt 3 \approx 20,8\)

Đáp số: \(20,8\)