Cho hai biểu thức: \[A = \left( {\frac{{\sqrt a }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt a }}} \right)\left( {\frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}} - \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right)\] với \(a > 0,{\rm{ }}a \ne 1.\)Biết rằng khi rút gọn biểu thức A được \[A = m\sqrt a \] với m ∈ ℤ. Hỏi giá trị của m bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Với a ≥ 0, a ≠ 1, ta có:

\(A = \left( {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a + 1}} + \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 1}}} \right).\left( {1 - \frac{2}{{a + 1}}} \right)\)

\(A = \left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}} + \frac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right].\frac{{a - 1}}{{a + 1}}\)

\(A = \frac{{\left( {a - 2\sqrt a + 1 + a + 2\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}.\frac{{\left( {a - 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)}}\)

\(A = \frac{{2\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)}} = 2\).

Vậy với a ≥ 0, a ≠ 1 thì a = 2.

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 4, ta có:

\(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 2}} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right).\frac{{x - 4}}{{\sqrt x }}\)

\(A = \left[ {\frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}} \right].\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x }}\)

\(A = \frac{{\left( {\sqrt x + 2 + \sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x }}\)

\(A = \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x }} = 2\).

Vậy với x > 0, x ≠ 4 thì A = 2.