Trong giờ thể dục học về kỹ thuật chuyền bóng da, Bình và Mạnh tập chuyền bóng cho nhau. Ở một động tác Bình chuyền bóng cho Mạnh, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang bên trái của Mạnh và rơi xuống vị trí cách chỗ Mạnh đứng 0,5m và cách chỗ Bình 4,5m. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho gốc toạ độ O tại vị trí của Bình, vị trí của Mạnh nằm trên tia Ox và mặt phẳng Oxy là mặt đất (tham khảo hình vẽ). Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng (P): x + by + cz + d = 0 và (P) vuông góc với mặt đất. Khi đó, giá trị của  − b² – c² + 3d² bằng bao nhiêu?

Khi gắn hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo km) vào một trận địa pháo phòng không, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất. Trong tập luyện, một vùng mặt phẳng trong tầm hoạt động của pháo được giữ bởi 3 điểm pháo A(3; 0; 0), B(0; 1,5; 0), C(0; 0; −1,5). Một mục tiêu bay từ M(5; 2; 4) tới N(1; 0; −2). Khoảng cách từ điểm pháo A tới vị trí va chạm của mục tiêu khi tới mặt phẳng là bao nhiêu km (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Hai đứa trẻ đang chơi với một quả bóng. Bé giá ném quả bóng cho bé trai. Quả bóng di chuyển trong không khí, uốn cong 3 m về bên phải và rơi cách bé giá 5 m (xem hình)

Biết rằng mặt phẳng chứa quỹ đạo của quả bóng vuông góc với mặt đất và phương trình tổng quát của nó có dạng ax −3y + c = 0. Tính a + c?

Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục Oxyz như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và có tâm của mặt đáy trên lần lượt là A(3; 2; 3), B(6; 3; 3), C(9; 4; 2), D(6; 0; \(\frac{5}{2}\)).

Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC). (làm tròn đến hàng phần trăm).

Khi gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là dm) vào một ngôi nhà 1 tầng, người ta thấy rằng mặt trên và mặt dưới của mái nhà thuộc các mặt phẳng vuông góc với trục Oz. Biết rằng các vị trí A(3; 4; 33), D(9; 8; 35) lần lượt thuộc mặt dưới, mặt trên của mái nhà. Độ dày của mái nhà được tính bằng khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà đó. Hãy cho biết độ dày của mái nhà đó là bao nhiêu dm?

Trên bản thiết kế đồ họa 3D của một cánh đồng điện mặt trời (như hình dưới đây) trong không gian Oxyz, một tấm pin nằm trên mặt phẳng (P): 6x + 5y + z + 2 = 0; một tấm pin khác nằm trên mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(1; 1; 1) và song song với (P). Biết phương trình mặt phẳng (Q) có dạng Ax + By + Cz + D = 0. Tính A + B + C + D.

Một ngôi nhà có các bậc thang của cầu thang đã thiết lập hệ tọa độ Oxyz. Biết hai mặt bậc thang song song nằm trên hai mặt phẳng phân biệt: (P): 2x – y + 2z + 8 = 0 và (Q): 2x – y + 2z + 2 = 0. Khoảng cách giữa hai bậc thang này bằng bao nhiêu?

Hình dưới đây là hình ảnh minh họa của một tòa nhà trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục theo mét). Biết A(50; 0; 0), D(0; 20; 0), B(3k; 2k; k) với k > 0 và (CBEF) có phương trình z = 3. Biết rằng tọa độ điểm B(a; b; c). Khi đó giá trị a + b + c bằng bao nhiêu?