Trong một trận đấu bóng đá, người ta quan sát được quỹ đạo của quả bóng do thủ môn đá lên từ vạch \[5\,{\rm{m}}\,50\] là một phần của đường cong parabol. Biết rằng, sau 3 giây thì quả bóng lên đến vị trí cao nhất là 9 mét (tham khảo hình vẽ). Hỏi sau mấy giây đầu tiên kể từ khi bóng được đá lên thì đạt độ cao \(5\,\,{\rm{m}}\)?

 

__

Gọi \[x\] (sản phẩm) là số sản phẩm đội dự định làm mỗi ngày \[\left( {x \in {\mathbb{N}^ * };\:x < 100} \right)\].

Thời gian hoàn thành theo kế hoạch là \[\frac{{1000}}{x}\] (ngày).

Mỗi ngày tổ làm được theo thực tế là: \[x + 10\] (sản phẩm).

Thời gian hoàn thành theo thực tế là: \[\frac{{1080}}{{x + 10}}\] (ngày).

Vì thời gian thực tế ít hơn thời gian dự định là 2 ngày nên ta có phương trình:

\[\frac{{1000}}{x} - \frac{{1080}}{{x + 10}} = 2\]

\[\frac{{500}}{x} - \frac{{540}}{{x + 10}} = 1\]

\[\frac{{500\left( {x + 10} \right) - 540x}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}}\]

\[500x + 5000 - 540x = {x^2} + 10x\]

\[{x^2} + 50x - 5000 = 0\]

Ta có \[\Delta ' = {25^2} - 1 \cdot \left( { - 5000} \right) = 5625 > 0\] suy ra \[\sqrt {\Delta '}  = 75\].

Vì \[\Delta ' = 5625 > 0\] nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 

\[{x_1} =  - 25 - 75 =  - 100\] (loại) hoặc \[{x_2} =  - 25 + 75 = 50\] (TMĐK).

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ dự định làm \[50\] sản phẩm.

Đáp án: 50.

a) Đúng. Ban đầu đội có \(x\) chiếc xe. Lúc sắp khởi hành, đội được bổ sung 5 xe nên số xe thực tế là \(x + 5\) (chiếc).

Tổng số khoai lang là 120 tấn được chia đều cho các xe, nên thực tế mỗi xe phải chở khối lượng là \(\frac{{120}}{{x + 5}}\) (tấn).

b) Sai. Theo dự định, mỗi xe phải chở \(\frac{{120}}{x}\) (tấn).

Vì \(x < x + 5\) (do \(x \in {\mathbb{N}^*}\,)\) nên \(\frac{{120}}{x} > \frac{{120}}{{x + 5}}\).

Thực tế mỗi xe chở ít hơn dự định 2 tấn, nghĩa là khối lượng dự định lớn hơn khối lượng thực tế nên ta có phương trình: \(\frac{{120}}{x} - \frac{{120}}{{x + 5}} = 2\).

c) Đúng. Ta có \(\frac{{120}}{x} - \frac{{120}}{{x + 5}} = 2\)

\(\frac{{60}}{x} - \frac{{60}}{{x + 5}} = 1\)

\(60\left( {x + 5} \right) - 60x = x\left( {x + 5} \right)\)

\(60x + 300 - 60x = {x^2} + 5x\)

\({x^2} + 5x - 300 = 0\)

Giải phương trình bậc hai, ta có: \({x_1} = 15\) (TMĐK) và \({x_2} =  - 20\) (loại).

Vậy số xe dự định ban đầu là 15 chiếc.

d) Đúng. Số xe thực tế tham gia chở hàng là: \(15 + 5 = 20\) (chiếc).

Tổng số khoai lang là 120 tấn nên thực tế mỗi xe trong đội đã chở: \(120:20 = 6\) (tấn).