Nghiệm của phương trình \({\rm{tan}}x = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}\) được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào? 

Vì \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \) (góc thuộc góc phần tư thứ II) nên ta có \({\rm{cos}}x < 0\).

Áp dụng hệ thức lượng cơ bản: \({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = 1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow {\rm{cos}}x =  - \frac{4}{5}\).

Tính các giá trị lượng giác còn lại: \({\rm{tan}}x = \frac{{{\rm{sin}}x}}{{{\rm{cos}}x}} = \frac{{\frac{3}{5}}}{{ - \frac{4}{5}}} =  - \frac{3}{4}\); \({\rm{cot}}x = \frac{1}{{{\rm{tan}}x}} =  - \frac{4}{3}\).

a) Xét hai mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\):

- Ta có điểm \(P \in BD\), mà \(BD \subset \left( {BCD} \right) \Rightarrow P \in \left( {BCD} \right)\). Do \(P \in \left( {MNP} \right)\) nên \(P\) là điểm chung thứ nhất.

- Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), xét hai đường thẳng \(MN\) và \(BC\). Do \(M\) là trung điểm của \(AB\)\(\left( {\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2}} \right)\) và \(N\) thỏa mãn \(\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{2}{3}\) nên \(\frac{{AM}}{{AB}} \ne \frac{{AN}}{{AC}}\). Suy ra \(MN\) không song song với \(BC\), gọi \(K = MN \cap BC\).

- Vì \(K \in MN \subset \left( {MNP} \right)\) và \(K \in BC \subset \left( {BCD} \right)\) nên \(K\) là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) là đường thẳng \(PK\).

b) Trong mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), gọi \(Q = PK \cap CD\). Vì \(PK \subset \left( {MNP} \right)\) nên \(Q = CD \cap \left( {MNP} \right)\).

Để tính tỉ số \(\frac{{QC}}{{QD}}\), ta áp dụng định lý Menelaus:

- Trước hết, xét  với cát tuyến \(M,N,K\) thẳng hàng ta có: \(\frac{{MA}}{{MB}} \cdot \frac{{KB}}{{KC}} \cdot \frac{{NC}}{{NA}} = 1\).

Do \(M\) là trung điểm \(AB \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = 1\). Do \(AN = 2NC \Rightarrow \frac{{NC}}{{NA}} = \frac{1}{2}\).

Thay vào ta được: \(1 \cdot \frac{{KB}}{{KC}} \cdot \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{{KB}}{{KC}} = 2 \Rightarrow C\) là trung điểm của \(BK\).

- Tiếp theo, xét  với cát tuyến \(K,Q,P\) thẳng hàng ta có: \(\frac{{KB}}{{KC}} \cdot \frac{{QC}}{{QD}} \cdot \frac{{PD}}{{PB}} = 1\).

Theo giả thiết \(BD = 3PD \Rightarrow PB = 2PD \Rightarrow \frac{{PD}}{{PB}} = \frac{1}{2}\).

Khi đó \(2 \cdot \frac{{QC}}{{QD}} \cdot \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{{QC}}{{QD}} = 1\).

Vậy tỉ số \(\frac{{QC}}{{QD}} = 1\) (hay \(Q\) là trung điểm của cạnh \(CD\)).