PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\) có bảng biến thiên như hình vẽ.

Từ BBT, ta rút ra các nhận xét sau:

Đồ thị có một đường tiệm cận đứng tại điểm hàm số không xác định là \(x = 3\). Do đó, mẫu số \(mx + n = 0\) tại \(x = 3 \Rightarrow 3m + n = 0 \Rightarrow n = - 3m\).

Tại \(x = 1\), ta có \(y = 1\) và \(y' = 0\).

Tại \(x = 5\), ta có \(y = - 7\) và \(y' = 0\).

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \). Mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{a{x^2}}}{{mx}} = {\rm{l}}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{a}{m}x\). Để giới hạn này ra \( - \infty \) khi \(x \to + \infty \) thì \(\frac{a}{m} < 0\), nghĩa là \(a\) và \(m\) trái dấu.

a) Sai.Từ BBT, đường tiệm cận xiên là đạo hàm khi chia tử cho mẫu: \(y = \frac{a}{m}x + \ldots \). Đường thẳng nối hai điểm cực trị \(\left( {1;1} \right)\) và \(\left( {5; - 7} \right)\) có phương trình là \(y = - 2x + 3\). Trong hàm bậc hai trên bậc nhất, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là \(y = \frac{{{{\left( {a{x^2} + b,x + c} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {mx + n} \right)}^\prime }}} = \frac{{2ax + b}}{m}\).

Từ hệ phương trình các cực trị, ta tìm được một bộ số cụ thể thỏa mãn BBT (nhánh đồ thị đi xuống, tiệm cận đứng \(x = 3\)): Chọn \(m = 1 \Rightarrow n = - 3\). Khi đó \(a < 0\), giải ra hàm số cụ thể là \(y = \frac{{ - {x^2} + 4x - 1}}{{x - 3}}\). Lúc này \(c = - 1\) và \(n = - 3\) cùng dấu. Do đó phát biểu “luôn trái dấu” là Sai.

b) Đúng. Ta có \(3m + n = 0 \Rightarrow n = - 3m\), suy ra \(n\) và \(m\) trái dấu. Mà từ giới hạn, ta đã chứng minh \(a\) và \(m\) trái dấu. Do đó, \(a\) và \(n\) bắt buộc phải cùng dấu.

c) Đúng. Nhìn vào hàng \(y'\), ta thấy \(y' = 0\) tại hai điểm phân biệt là \(x = 1\) và \(x = 5\).

d) Đúng. Tại \(x = 1\), giá trị của hàm số là \(y\left( 1 \right) = 1\). Thay \(x = 1\) vào công thức hàm số:

\(y\left( 1 \right) = \frac{{a \cdot {1^2} + b \cdot 1 + c}}{{m \cdot 1 + n}} = \frac{{a + b + c}}{{m + n}} = 1 \Rightarrow a + b + c = m + n\).