Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ sau.

Tính giá trị biểu thức \(T = a + 2b + 3c + 4d\).

Đáp số: ___

Gọi số lượng máy phay nhà xưởng đưa vào vận hành là \(k\) máy (\(k \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\)).

Tổng năng suất sản xuất của tất cả các máy trong một giờ là: \(10k\) bo mạch/giờ.

Thời gian để hoàn thành toàn bộ khối lượng đơn hàng là: \(t = \frac{{31250}}{{10k}} = \frac{{3125}}{k}\) giờ.

Xác định tổng chi phí vận hành (quy đổi theo đơn vị triệu đồng):

\(C\left( k \right) = 3k + 0,6 \cdot t = 3k + 0,6 \cdot \frac{{3125}}{k} = 3k + \frac{{1875}}{k}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ hai số dương \(3k\) và \(\frac{{1875}}{k}\):

\(C\left( k \right) \ge 2\sqrt {3k \cdot \frac{{1875}}{k}} = 2\sqrt {5625} = 2 \cdot 75 = 150\).

Chi phí đạt giá trị nhỏ nhất bằng 150 triệu đồng khi và chỉ khi dấu đẳng thức xảy ra:

\(3k = \frac{{1875}}{k} \Leftrightarrow 3{k^2} = 1875 \Leftrightarrow {k^2} = 625 \Leftrightarrow k = 25\).

Vậy xưởng cần vận hành đúng \(25\) máy phay để tối ưu hóa chi phí thấp nhất.

Đáp số: 25.

Từ BBT, ta rút ra các nhận xét sau:

Đồ thị có một đường tiệm cận đứng tại điểm hàm số không xác định là \(x = 3\). Do đó, mẫu số \(mx + n = 0\) tại \(x = 3 \Rightarrow 3m + n = 0 \Rightarrow n = - 3m\).

Tại \(x = 1\), ta có \(y = 1\) và \(y' = 0\).

Tại \(x = 5\), ta có \(y = - 7\) và \(y' = 0\).

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \). Mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{a{x^2}}}{{mx}} = {\rm{l}}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{a}{m}x\). Để giới hạn này ra \( - \infty \) khi \(x \to + \infty \) thì \(\frac{a}{m} < 0\), nghĩa là \(a\) và \(m\) trái dấu.

a) Sai.Từ BBT, đường tiệm cận xiên là đạo hàm khi chia tử cho mẫu: \(y = \frac{a}{m}x + \ldots \). Đường thẳng nối hai điểm cực trị \(\left( {1;1} \right)\) và \(\left( {5; - 7} \right)\) có phương trình là \(y = - 2x + 3\). Trong hàm bậc hai trên bậc nhất, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là \(y = \frac{{{{\left( {a{x^2} + b,x + c} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {mx + n} \right)}^\prime }}} = \frac{{2ax + b}}{m}\).

Từ hệ phương trình các cực trị, ta tìm được một bộ số cụ thể thỏa mãn BBT (nhánh đồ thị đi xuống, tiệm cận đứng \(x = 3\)): Chọn \(m = 1 \Rightarrow n = - 3\). Khi đó \(a < 0\), giải ra hàm số cụ thể là \(y = \frac{{ - {x^2} + 4x - 1}}{{x - 3}}\). Lúc này \(c = - 1\) và \(n = - 3\) cùng dấu. Do đó phát biểu “luôn trái dấu” là Sai.

b) Đúng. Ta có \(3m + n = 0 \Rightarrow n = - 3m\), suy ra \(n\) và \(m\) trái dấu. Mà từ giới hạn, ta đã chứng minh \(a\) và \(m\) trái dấu. Do đó, \(a\) và \(n\) bắt buộc phải cùng dấu.

c) Đúng. Nhìn vào hàng \(y'\), ta thấy \(y' = 0\) tại hai điểm phân biệt là \(x = 1\) và \(x = 5\).

d) Đúng. Tại \(x = 1\), giá trị của hàm số là \(y\left( 1 \right) = 1\). Thay \(x = 1\) vào công thức hàm số:

\(y\left( 1 \right) = \frac{{a \cdot {1^2} + b \cdot 1 + c}}{{m \cdot 1 + n}} = \frac{{a + b + c}}{{m + n}} = 1 \Rightarrow a + b + c = m + n\).