Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(SA = a\) và đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(2a\), \(O\) là trung điểm của \(BC\). Bằng cách thiết lập hệ toạ độ như hình vẽ, hãy xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(SA = a\) và đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(2a\), \(O\) là trung điểm của \(BC\). Bằng cách thiết lập hệ toạ độ như hình vẽ, hãy xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Câu hỏi trong đề: Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Củ Chi (TP.HCM) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Theo tính chất trung điểm hình học phẳng vì \(O\) là trung điểm của \(BC\) nên ta luôn có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AO} \). Do đó ý a) sai.
Lập hệ trục tọa độ với gốc \(O\left( {0;0;0} \right)\) đặt tại trung điểm \(BC\). Trục \(Ox\) chứa đoạn \(OC\), trục \(Oy\) chứa đoạn \(OA\), trục \(Oz\) vuông góc với mặt đáy tại \(O\).
Độ dài đường cao tam giác đều \(ABC\): \(AO = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Tọa độ các điểm trong không gian: \(O\left( {0;0;0} \right)\), \(C\left( {a;0;0} \right)\), \(B\left( { - a;0;0} \right)\), \(A\left( {0;a\sqrt 3 ;0} \right) \to \) Ý c) đúng.
Vì \(SA{\rm{//}}Oz\) và \(SA = a\) nên điểm \(S\) có tọa độ: \(S\left( {0;a\sqrt 3 ;a} \right)\).
Tọa độ trung điểm \(M\) của cạnh \(SC\) được tính bằng trung bình cộng tọa độ \(S\) và \(C\): \(M\left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2}} \right)\). Đề bài ghi hoành độ âm nên ý b) sai.
Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} \):
Ta có \(\overrightarrow {SB} = \left( { - a; - a\sqrt 3 ; - a} \right)\) và \(\overrightarrow {SC} = \left( {a; - a\sqrt 3 ; - a} \right)\).
\(\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \left( { - a} \right) \cdot a + \left( { - a\sqrt 3 } \right) \cdot \left( { - a\sqrt 3 } \right) + \left( { - a} \right) \cdot \left( { - a} \right) = - {a^2} + 3{a^2} + {a^2} = 3{a^2}\). Do đó ý d) đúng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi hình chiếu vuông góc của vectơ lực \(\vec F\) lên mặt phẳng đáy \(\left( {Oxy} \right)\) là vectơ \({\vec F_{xy}}\).
Dựa theo mô tả trực quan từ hình vẽ, vectơ lực tạo với mặt đáy \(\left( {Oxy} \right)\) góc \(60^\circ \). Do đó, thành phần cao độ song song với trục đứng \(Oz\) là: \(z = \left| {\vec F} \right| \cdot \sin 60^\circ = 100 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 50\sqrt 3 \).
Độ lớn của vectơ hình chiếu trên mặt phẳng đáy là: \(\left| {{{\vec F}_{xy}}} \right| = \left| {\vec F} \right| \cdot \cos 60^\circ = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50\).
Phân tích vectơ hình chiếu đáy \({\vec F_{xy}}\) lên hai trục tọa độ \(Ox\) và \(Oy\), góc hợp với trục \(Ox\) là \(45^\circ \), nằm ở vùng hoành độ dương và tung độ âm:
Hoành độ: \(x = \left| {{{\vec F}_{xy}}} \right| \cdot \cos 45^\circ = 50 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 25\sqrt 2 \)
Tung độ: \(y = - \left| {{{\vec F}_{xy}}} \right| \cdot \sin 45^\circ = - 50 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = - 25\sqrt 2 \)
Tọa độ vectơ lực thu được là \(\vec F = \left( {25\sqrt 2 ; - 25\sqrt 2 ;50\sqrt 3 } \right)\).
Tính giá trị biểu thức: \(x + y + z\sqrt 3 = 25\sqrt 2 + \left( { - 25\sqrt 2 } \right) + \left( {50\sqrt 3 } \right) \cdot \sqrt 3 = 0 + 50 \cdot 3 = 150\).
Đáp số: 150.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Ta có \(\vec u = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {C'B} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC'} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow {AC} \).
Do đó, \(\left| {\vec u} \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\).
Với hình lập phương có cạnh bằng 3, mặt đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng 3. Độ dài đường chéo hình vuông là: \(AC = 3\sqrt 2 \).
Đồng nhất với dạng thức đề bài: \(3\sqrt 2 = a\sqrt b \Rightarrow a = 3\) và \(b = 2\).
Tính giá trị của \(T = 2a + b = 2 \cdot 3 + 2 = 8\).
Đáp số: 8.
Câu 3
A. \[\overrightarrow {A'C} = \left( {0;0; - 8} \right).\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập