Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(SA = a\) và đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(2a\), \(O\) là trung điểm của \(BC\). Bằng cách thiết lập hệ toạ độ như hình vẽ, hãy xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

 

Phương trình hoành độ giao điểm với \(Ox\): \( - {x^3} - 3{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = - 2\). Đồ thị chỉ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. Do đó ý a) sai.

Đạo hàm: \(y' = - 3{x^2} - 6x = - 3x\left( {x + 2} \right)\). Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = - 2\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\), đồng biến trên \(\left( { - 2;0} \right)\). Do đó ý b) đúng.

Tọa độ hai điểm cực trị:

Với \(x = 0 \Rightarrow y = 4 \Rightarrow A\left( {0;4} \right)\).

Với \(x = - 2 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow B\left( { - 2;0} \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị \(A\) và \(B\) là: \(y = 2x + 4\). Do đó ý c) đúng.

Giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\): Ta so sánh \(y\left( { - 1} \right) = 2\), \(y\left( 0 \right) = 4\), \(y\left( 2 \right) = - 16\). Vậy giá trị nhỏ nhất trên đoạn này là \( - 16\). Do đó ý d) sai.

Gọi hình chiếu vuông góc của vectơ lực \(\vec F\) lên mặt phẳng đáy \(\left( {Oxy} \right)\) là vectơ \({\vec F_{xy}}\).

Dựa theo mô tả trực quan từ hình vẽ, vectơ lực tạo với mặt đáy \(\left( {Oxy} \right)\) góc \(60^\circ \). Do đó, thành phần cao độ song song với trục đứng \(Oz\) là: \(z = \left| {\vec F} \right| \cdot \sin 60^\circ = 100 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 50\sqrt 3 \).

Độ lớn của vectơ hình chiếu trên mặt phẳng đáy là: \(\left| {{{\vec F}_{xy}}} \right| = \left| {\vec F} \right| \cdot \cos 60^\circ = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50\).

Phân tích vectơ hình chiếu đáy \({\vec F_{xy}}\) lên hai trục tọa độ \(Ox\) và \(Oy\), góc hợp với trục \(Ox\) là \(45^\circ \), nằm ở vùng hoành độ dương và tung độ âm:

Hoành độ: \(x = \left| {{{\vec F}_{xy}}} \right| \cdot \cos 45^\circ = 50 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 25\sqrt 2 \)

Tung độ: \(y = - \left| {{{\vec F}_{xy}}} \right| \cdot \sin 45^\circ = - 50 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = - 25\sqrt 2 \)

Tọa độ vectơ lực thu được là \(\vec F = \left( {25\sqrt 2 ; - 25\sqrt 2 ;50\sqrt 3 } \right)\).

Tính giá trị biểu thức: \(x + y + z\sqrt 3 = 25\sqrt 2 + \left( { - 25\sqrt 2 } \right) + \left( {50\sqrt 3 } \right) \cdot \sqrt 3 = 0 + 50 \cdot 3 = 150\).

Đáp số: 150.