Tính giá trị cực đại của hàm số \(y =  - {x^3} + 3{x^2} + 1872x - 28803.\)

_____

Dựa vào đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất:

Tiệm cận đứng của đồ thị là \(x = - 1 \Rightarrow \) Nghiệm mẫu số \(x + d = 0 \Rightarrow d = 1\).

Tiệm cận xiên có phương trình đi qua các điểm đặc biệt. Đường nét đứt xiên đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;0} \right)\). Suy ra phương trình tiệm cận xiên có dạng \(y = - x + 1\).

Thực hiện phép chia tử cho mẫu: \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + 1}} = ax + \left( {b - a} \right) + \frac{{c - \left( {b - a} \right)}}{{x + 1}}\).

Đối chiếu với tiệm cận xiên \(y = - x + 1\), ta thu được hệ số:

\(a = - 1\) và \(b - a = 1 \Rightarrow b - \left( { - 1} \right) = 1 \Rightarrow b = 0\).

Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\), thay điểm \(\left( {0;0} \right)\) vào hàm số: \(0 = \frac{{a \cdot {0^2} + b \cdot 0 + c}}{{0 + 1}} \Rightarrow c = 0\).

Kiểm tra lại giá trị cực trị trên hình để đảm bảo: đồ thị có điểm cực đại tại \(\left( {0;0} \right)\) và cực tiểu tại \(\left( { - 2;4} \right)\). Thay \(x = - 2\): \(y = \frac{{ - {{\left( { - 2} \right)}^2} + 0 + 0}}{{ - 2 + 1}} = \frac{{ - 4}}{{ - 1}} = 4\) (hoàn toàn chính xác).

Tính giá trị biểu thức: \(a + b - c - d = - 1 + 0 - 0 - 1 = - 2\).

Kết quả: −2.

Lời giải

Tổng số lượng bản in cần hoàn thành là \(N = 70.000\) bản.

Nếu dùng \(n\) máy hoạt động đồng thời, tổng số bản in xưởng thực hiện được trong một giờ là: \(3500 \cdot n\).

Thời gian hoàn thành công việc (tính bằng giờ) là: \(t = \frac{{70000}}{{3500n}} = \frac{{20}}{n}\) (giờ).

Tổng chi phí vận hành gồm chi phí ban đầu cho \(n\) máy và chi phí chạy trong thời gian \(t\):

Chi phí ban đầu: \(80n\) (nghìn đồng).

Chi phí thời gian: \(\left( {60n + 100} \right) \cdot t = \left( {60n + 100} \right) \cdot \frac{{20}}{n} = 1200 + \frac{{2000}}{n}\) (nghìn đồng).

Tổng chi phí cho quá trình in ấn là: \(C\left( n \right) = 80n + 1200 + \frac{{2000}}{n}\) (nghìn đồng).

Để đạt được lợi nhuận (lãi) cao nhất, ta cần tối thiểu hóa tổng chi phí \(C\left( n \right)\). Áp dụng bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho hai số dương \(80n\) và \(\frac{{2000}}{n}\) ta có:

\(80n + \frac{{2000}}{n} \ge 2\sqrt {80n \cdot \frac{{2000}}{n}} = 2\sqrt {160000} = 2 \cdot 400 = 800\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(80n = \frac{{2000}}{n} \Leftrightarrow {n^2} = \frac{{2000}}{{80}} = 25 \Rightarrow n = 5{\rm{\;(m\'a y)}}\).

Số máy \(n = 5\) thỏa mãn điều kiện thực tế (\(5 \le 18\)).

Kết quả: 5.