Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \[A\left( {0;\,\,0;\,\,0} \right)\], \[B\left( {3;\,\,0;\,\,0} \right)\], \[D\left( {0;\,\,3;\,\,0} \right)\], \[D'\left( {0;\,\,3;\,\, - 3} \right)\]. Toạ độ trọng tâm tam giác \(A'B'C\) là

Chọn B

Cách 1: Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {3;\,\,0;\,\,0} \right)\]. Gọi \(C\left( {x;\,y;\,\,z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DC} = \left( {x;\,\,y - 3;\,\,z} \right)\)

\(ABCD\) là hình bình hành \[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow \left( {x;\,\,y;\,\,z} \right) = \left( {3;\,\,3;\,\,0} \right) \Rightarrow C\left( {3;\,\,3;\,\,0} \right)\]

Ta có \(\overrightarrow {AD} = \left( {0;\,\,3;\,\,0} \right)\). Gọi \(A'\left( {x';\,\,y';\,\,z'} \right) \Rightarrow \overrightarrow {A'D'} = \left( { - x';\,\,3 - y';\,\, - 3 - z'} \right)\)

\(ADD'A'\) là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {A'D'} \Rightarrow \left( {x';\,\,y';\,\,z'} \right) = \left( {0;\,\,0;\,\, - 3} \right) \Rightarrow A'\left( {0;\,\,0;\, - 3} \right)\)

Gọi \(B'\left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,{z_0}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {A'B'} = \left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,{z_0} + 3} \right)\)

\(ABB'A'\) là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} \Rightarrow \left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,{z_0}} \right) = \left( {3;\,\,0;\, - 3} \right) \Rightarrow B'\left( {3;\,\,0;\, - 3} \right)\)

\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{0 + 3 + 3}}{3} = 2\\{y_G} = \frac{{0 + 0 + 3}}{3} = 1\\{z_G} = \frac{{ - 3 - 3 + 0}}{3} = - 2\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {2;\,\,1;\,\, - 2} \right)\].

Cách 2 : Gọi \[I\]là trung điểm của đoạn thẳng \[BD'\].Ta có \[I\left( {\frac{3}{2};\,\frac{3}{2};\, - \frac{3}{2}} \right)\].Gọi \[G\left( {a;\,b;\,c} \right)\] là trọng tâm tam giác \(A'B'C\).

Ta có: \[\overrightarrow {DI} = 3\overrightarrow {IG} \]với \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {DI} = \left( {\frac{3}{2};\, - \frac{3}{2};\, - \frac{3}{2}} \right)\\\overrightarrow {IG} = \left( {a - \frac{3}{2};\,b - \frac{3}{2};\,c + \frac{3}{2}} \right)\end{array} \right.\].

Do đó: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{2} = 3\left( {a - \frac{3}{2}} \right)\\ - \frac{3}{2} = 3\left( {b - \frac{3}{2}} \right)\\ - \frac{3}{2} = 3\left( {c + \frac{3}{2}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = - 2\end{array} \right.\].

Vậy \[G\left( {2;\,1;\, - 2} \right)\].