Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\), có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài 300 mét. Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu \(MN\) bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh\(A'C\), điểm cuối thuộc cạnh \(BC'\)) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho \(MN\) ngắn nhất. Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tỷ đồng?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: 671
Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ (\(O\) là trung điểm của \(BC\)). Ta có: \(A'\left( {0;\, - 150\sqrt 3 ;\,300} \right),\) \(B\left( {150;\,0;\,0} \right),\) \(C\left( { - 150;\,0;\,0} \right),\) \(C'\left( { - 150;\,0;\,300} \right),\)\(\overrightarrow {CA'} = \left( {150;\, - 150\sqrt 3 ;\,300} \right)\), \(\overrightarrow {BC'} = \left( { - 300;\,0;\,300} \right)\)
Gọi \(m,n\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CM} = m\overrightarrow {CA'} \\\overrightarrow {BN} = n\overrightarrow {BC'} \end{array} \right.\) ta có \(M\left( { - 150 + 150m;\, - 150\sqrt 3 m;\,300m} \right)\), \(N\left( {150 - 300n;\,0;\,300n} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - 150m - 300n + 300;\,150\sqrt 3 m;\,300n - 300m} \right)\).
Đường thẳng \(MN\) là đường vuông góc chung của \(A'C\) và \(BC'\)nên:
\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CA'} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BC'} = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4m + n = - 1\\ - m + 4n = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{2}{5}\\n = \frac{3}{5}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {60;\,60\sqrt 3 ;\,60} \right) \Rightarrow MN = 60\sqrt 5 \)
Số tiền xây cầu là: \(T = 60\sqrt 5 .5 \approx 671\)tỷ đồng.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: 72
Ta có \(IA = 2\sqrt 5 < 100\).
\(IB = \sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + {{\left( {m - 3} \right)}^2} + 36} \).
\(IC = \sqrt {{{\left( {m - 3} \right)}^2} + {{\left( {m - 1} \right)}^2} + 25} \).
Rõ rang \(IC < IB\) với mọi \(m\), do vậy ta chỉ cần tìm \(m\) để drone \(B\) không xa kho hàng quá
100km. Tức là \( \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {m - 3} \right)^2} + 36 < 10000 \Leftrightarrow 2{m^2} - 8m - 9954 < 0\)
\( \Leftrightarrow - 68,6 < m < 72,6\).
Do \(m \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(m \in \left\{ {1;2;3;4;5;...;72} \right\}\).
Vậy có \(72\) giá trị của thỏa mãn đề bài.
Câu 2
A. \[{a^2}\].
B. \[\frac{{{a^2}}}{2}\].
C. \[\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\].
D. \[{a^2}\sqrt 2 \].
Lời giải
Chọn A
Ta có \(AC = a\sqrt 2 \), \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {45^ \circ }\).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a\sqrt 2 .\cos {45^ \circ } = {a^2}\).
Câu 3
a. Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (1;1;1)\).
b. Tọa độ của điểm \(D\) là \((4;5; - 5)\).
c. \(\overrightarrow {AA} = \overrightarrow {BB} = \overrightarrow {CC} = \overrightarrow {D{D^\prime }} \)
d. Tọa độ của điểm \({C^\prime }\) là \((1;3;1)\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {7; + \infty } \right)\).
b. \(f\left( 1 \right) < f\left( 3 \right)\).
c. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;7} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
a. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
b. Hàm số đã cho có \(2\) điểm cực trị.
c. Trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\), giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng \(1\).
d. Giá trị của biểu thức \(a + b + c\) bằng \(0\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập