Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$, có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài 300 mét. Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu $MN$ bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh$A'C$, điểm cuối thuộc cạnh $BC'$) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho $MN$ ngắn nhất. Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tỷ đồng?

$Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$, có cạnh bên bằng cạnh đáy và (ảnh 1)$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 4 đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 TP.HCM (có đáp án) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án:

671

Đáp án: 671

$Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$, có cạnh bên bằng cạnh đáy và (ảnh 2)$

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ ($O$ là trung điểm của $BC$). Ta có: $A'\left( {0;\, - 150\sqrt 3 ;\,300} \right),$ $B\left( {150;\,0;\,0} \right),$ $C\left( { - 150;\,0;\,0} \right),$ $C'\left( { - 150;\,0;\,300} \right),$$\overrightarrow {CA'} = \left( {150;\, - 150\sqrt 3 ;\,300} \right)$, $\overrightarrow {BC'} = \left( { - 300;\,0;\,300} \right)$

Gọi $m,n$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CM} = m\overrightarrow {CA'} \\\overrightarrow {BN} = n\overrightarrow {BC'} \end{array} \right.$ ta có $M\left( { - 150 + 150m;\, - 150\sqrt 3 m;\,300m} \right)$, $N\left( {150 - 300n;\,0;\,300n} \right)$

$ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - 150m - 300n + 300;\,150\sqrt 3 m;\,300n - 300m} \right)$.

Đường thẳng $MN$ là đường vuông góc chung của $A'C$ và $BC'$nên:

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CA'} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BC'} = 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4m + n = - 1\\ - m + 4n = 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{2}{5}\\n = \frac{3}{5}\end{array} \right.$$ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {60;\,60\sqrt 3 ;\,60} \right) \Rightarrow MN = 60\sqrt 5 $

Số tiền xây cầu là: $T = 60\sqrt 5 .5 \approx 671$tỷ đồng.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ có $A(4;6; - 5),B(5;7; - 4),C(5;6; - 4),{D^\prime }(2;0;2)$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

Ta có: $\overrightarrow {AB} = (1;1;1)$.

Đúng

Sai

Tọa độ của điểm $D$ là $(4;5; - 5)$.

Đúng

Sai

$\overrightarrow {AA} = \overrightarrow {BB} = \overrightarrow {CC} = \overrightarrow {D{D^\prime }} $

Đúng

Sai

Tọa độ của điểm ${C^\prime }$ là $(1;3;1)$

Đúng

Sai

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Ta có: $\overrightarrow {AB} = (1;1;1)$.

b) Gọi toạ độ của điểm $D$ là $\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right)$, ta có: $\overrightarrow {DC} = \left( {5 - {x_D};6 - {y_D}; - 4 - {z_D}} \right)$. Trong hình hộp $ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$, ta có: $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} $.

Suy ra: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5 - {x_D} = 1}\\{6 - {y_D} = 1}\\{ - 4 - {z_D} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_D} = 4}\\{{y_D} = 5}\\{{z_D} = - 5.}\end{array}} \right.} \right.$

Vậy tọa độ của điểm $D(4;5; - 5)$.

c) d) Tương tự, từ các đẳng thức vectơ $\overrightarrow {AA} = \overrightarrow {BB} = \overrightarrow {CC} = \overrightarrow {D{D^\prime }} $, ta suy ra được toạ độ của các điểm còn lại ${A^\prime }(2;1;2),{B^\prime }(3;2;3)$ và ${C^\prime }(3;1;3)$.

Câu 2