Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow {OC} = - 2\vec j + \vec k\). Xác định hình chiếu vuông góc của điểm \(C\) trên trục \(Ox\).

Đáp án:

Gọi chiều rộng của đáy bể là \(x\,\left( {x > 0,{\rm{m}}} \right)\).

Vì chiều dài gấp 2 lần chiều rộng nên chiều dài đáy bể là \(2x\).

Gọi chiều cao của bể là \(h\,\left( {h > 0,{\rm{m}}} \right)\).

Thể tích bể là: \(V = x \cdot 2x \cdot h = 2{x^2}h = 36 \Rightarrow h = \frac{{36}}{{2{x^2}}} = \frac{{18}}{{{x^2}}}\).

Do bể không có nắp nên diện tích cần xây bao gồm diện tích đáy và diện tích 4 mặt bên:

.

Thay \(h = \frac{{18}}{{{x^2}}}\) vào công thức diện tích: \(S\left( x \right) = 2{x^2} + 6x \cdot \left( {\frac{{18}}{{{x^2}}}} \right) = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}\).

Để chi phí thuê nhân công thấp nhất thì diện tích toàn phần này phải nhỏ nhất.

Xét hàm số \(S\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\):

Ta có \(S'\left( x \right) = 4x - \frac{{108}}{{{x^2}}}\).

Cho \(S'(x) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 108 = 0 \Leftrightarrow {x^3} = 27 \Leftrightarrow x = 3\).

Lập bảng biến thiên nhanh ta thấy \(S\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 3\).

Khi đó, chiều cao tương ứng của bể là: \(h = \frac{{18}}{{{3^2}}} = \frac{{18}}{9} = 2\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Đáp án: 2.

Đáp án:

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) tại vị trí xuất phát của hai drone:

• Trục \(Ox\) hướng về phía Đông (phía Tây tương ứng với hoành độ âm).
• Trục \(Oy\) hướng về phía Bắc (phía Nam tương ứng với tung độ âm).
• Trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trên (mặt đất trùng với mặt phẳng \(Oxy\), tức là \(z = 0\)).

Từ dữ kiện đề bài, ta xác định tọa độ của hai drone lần lượt là:

• Drone thứ nhất tại điểm \(A\left( {1,5; - 2,5;0,06} \right)\).
• Drone thứ hai tại điểm \(B\left( { - 2,5;3;0,04} \right)\).

Bài toán yêu cầu tìm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho tổng khoảng cách \(MA + MB\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Vì \(A\) và \(B\) đều có cao độ dương (\({z_A} = 0,06 > 0\) và \({z_B} = 0,04 > 0\)) nên hai điểm này nằm cùng một phía đối với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Tọa độ của \(A'\) là: \(A'\left( {1,5; - 2,5; - 0,06} \right)\).

Khi đó, với mọi điểm \(M\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), ta luôn có \(MA = MA'\).

Do đó \(MA + MB = MA' + MB \ge A'B\).

Dấu "\( = \)" xảy ra khi và chỉ khi ba điểm \(A',M,B\) thẳng hàng theo thứ tự đó (tức là \(M\) là giao điểm của đoạn thẳng \(A'B\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)).

Vì \(M\) nằm trên đoạn thẳng \(A'B\) và thuộc mặt phẳng \(Oxy\) (\({z_M} = 0\)), tỉ số độ dài đoạn thẳng dựa trên hình chiếu lên trục \(Oz\) là: \(\frac{{MA'}}{{MB}} = \frac{{\left| {{z_{A'}}} \right|}}{{\left| {{z_B}} \right|}} = \frac{{0,06}}{{0,04}} = \frac{3}{2}\).

Do \(M\) nằm giữa \(A'\) và \(B\), hai vectơ \(\overrightarrow {MA'} \) và \(\overrightarrow {MB} \) ngược chiều nhau.

Từ tỉ số độ dài, ta có đẳng thức vectơ: \(\overrightarrow {MA'} = - \frac{3}{2}\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MA'} + 3\overrightarrow {MB} = \vec 0\).

Áp dụng công thức tọa độ điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trước:

• Hoành độ \({x_M}\): \({x_M} = \frac{{2{x_{A'}} + 3{x_B}}}{{2 + 3}} = \frac{{2 \cdot 1,5 + 3 \cdot \left( { - 2,5} \right)}}{5} = \frac{{3 - 7,5}}{5} = - 0,9\).
• Tung độ \({y_M}\): \({y_M} = \frac{{2{y_{A'}} + 3{y_B}}}{{2 + 3}} = \frac{{2 \cdot \left( { - 2,5} \right) + 3 \cdot 3}}{{2 + 3}} = \frac{{ - 5 + 9}}{5} = 0,8\).

Đối chiếu với tọa độ dạng tổng quát \(M\left( { - b;a;0} \right)\), ta suy ra: \( - b = - 0,9 \Rightarrow b = 0,9\); \(a = 0,8\).

Vậy giá trị của \(a + b\) là: \(a + b = 0,8 + 0,9 = 1,7\).

Đáp án: 1,7.