Để treo một chiếc đèn trang trí Đ trong phòng khách, người chủ nhà có ý tưởng thiết kế một hệ thống dây thép mạ vàng để treo. Hệ thống gồm: 4 đoạn dây bằng nhau treo ở các điểm \(A,B,C,D\) trên trần nhà và một đoạn dây \(IM\) thẳng đứng đi qua tâm \(O\) của hình chữ nhật \(ABCD\).
Biết rằng điểm \(M\) (gắn với chiếc đèn) cách trần nhà \(60{\rm{\;cm}}\) và biết các kích thước \(AB = 60{\rm{\;cm}}\), \(BC = 80{\rm{\;cm}}\). Hãy xác định tổng chiều dài ngắn nhất của dây thép mạ vàng mà người chủ nhà đã dùng theo đơn vị centimet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật \(ABCD\) trên trần nhà. Ta có \(OM = 60{\rm{\;cm}}\) là khoảng cách từ đèn \(M\) đến trần nhà.
Tính độ dài đường chéo hình chữ nhật \(ABCD\): \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{60}^2} + {{80}^2}} = 100{\rm{\;(cm)}}\).
Vì \(O\) là tâm hình chữ nhật nên khoảng cách từ \(O\) đến các đỉnh là: \(OA = OB = OC = OD = \frac{{AC}}{2} = 50{\rm{\;(cm)}}\).
Điểm nối \(I\) nằm trên đoạn thẳng đứng \(OM\). Đặt \(OI = x\) với \(0 \le x \le 60{\rm{\;(cm)}}\).
Khi đó độ dài đoạn treo thẳng đứng là: \(IM = OM - OI = 60 - x\).
Độ dài của \(4\) đoạn dây treo nhánh bằng nhau \(IA,IB,IC,ID\) từ \(I\) đến các góc là:
\(IA = \sqrt {O{A^2} + O{I^2}} = \sqrt {{{50}^2} + {x^2}} = \sqrt {2500 + {x^2}} \).
Tổng chiều dài dây thép được sử dụng là: \(f\left( x \right) = 4\sqrt {2500 + {x^2}} + \left( {60 - x} \right){\rm{,}}\,\,\,\,\,{\rm{\;}}x \in \left[ {0;60} \right]\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;60} \right]\):
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{4x}}{{\sqrt {2500 + {x^2}} }} - 1\);
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4x = \sqrt {2500 + {x^2}} \Leftrightarrow 16{x^2} = 2500 + {x^2} \Leftrightarrow 15{x^2} = 2500\)\( \Rightarrow x = \sqrt {\frac{{2500}}{{15}}} = \frac{{50}}{{\sqrt {15} }}{\rm{\;(cm)}}\).
Tính giá trị cực tiểu của \(f\left( x \right)\): \(f\left( {\frac{{50}}{{\sqrt {15} }}} \right) = 4\sqrt {2500 + \frac{{2500}}{{15}}} + 60 - \frac{{50}}{{\sqrt {15} }} = \frac{{1950}}{{\sqrt {15} }} + 60 \approx 253,65{\rm{\;(cm)}}\).
Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị ta thu được tổng chiều dài ngắn nhất là \(254{\rm{\;cm}}\).
Đáp số: \(254\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Tiệm cận ngang:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \). Do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Tiệm cận đứng:
Ta thấy tại điểm bất định \(x = - 1\):
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = - \infty \quad {\rm{v\`a }}\quad \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = + \infty \)
Vậy đường thẳng \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là \(1\).
Đáp án đúng: A
Câu 2
a. \(y' = 3{x^2} - 3\).
b. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là \(5\sqrt 2 \).
c. Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là \(\left( {1;0} \right)\).
d. Giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[ {0;3} \right]\) là \(20\).
Lời giải
Ý a): ĐÚNG
Ta có \(y' = 3{x^2} - 3\).
Ý b): SAI
Giải \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\).
Với \(x = - 1 \Rightarrow y = 4\). Điểm cực đại của đồ thị là \(A\left( { - 1;4} \right)\).
Với \(x = 1 \Rightarrow y = 0\) Điểm cực tiểu của đồ thị là \(B\left( {1;0} \right)\).
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị \(A,B\) là:
\(AB = \sqrt {{{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \ne 5\sqrt 2 \).
Ý c): SAI
Điểm cực đại của đồ thị hàm số là \(\left( { - 1;4} \right)\), còn \(\left( {1;0} \right)\) là điểm cực tiểu của đồ thị.
Ý d): ĐÚNG
Tính giá trị hàm số trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\):
Tại các biên: \(y\left( 0 \right) = 2\), \(y\left( 3 \right) = {3^3} - 3 \cdot 3 + 2 = 20\).
Tại điểm cực tiểu \(x = 1 \in \left[ {0;3} \right]\): \(y\left( 1 \right) = 0\).
Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[ {0;3} \right]\) là \(20\).
PHẦN III (3 điểm): Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời các câu hỏi từ câu 1 đến câu 6, mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập