Để treo một chiếc đèn trang trí Đ trong phòng khách, người chủ nhà có ý tưởng thiết kế một hệ thống dây thép mạ vàng để treo. Hệ thống gồm: 4 đoạn dây bằng nhau treo ở các điểm \(A,B,C,D\) trên trần nhà và một đoạn dây \(IM\) thẳng đứng đi qua tâm \(O\) của hình chữ nhật \(ABCD\).
Biết rằng điểm \(M\) (gắn với chiếc đèn) cách trần nhà \(60{\rm{\;cm}}\) và biết các kích thước \(AB = 60{\rm{\;cm}}\), \(BC = 80{\rm{\;cm}}\). Hãy xác định tổng chiều dài ngắn nhất của dây thép mạ vàng mà người chủ nhà đã dùng theo đơn vị centimet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật \(ABCD\) trên trần nhà. Ta có \(OM = 60{\rm{\;cm}}\) là khoảng cách từ đèn \(M\) đến trần nhà.
Tính độ dài đường chéo hình chữ nhật \(ABCD\): \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{60}^2} + {{80}^2}} = 100{\rm{\;(cm)}}\).
Vì \(O\) là tâm hình chữ nhật nên khoảng cách từ \(O\) đến các đỉnh là: \(OA = OB = OC = OD = \frac{{AC}}{2} = 50{\rm{\;(cm)}}\).
Điểm nối \(I\) nằm trên đoạn thẳng đứng \(OM\). Đặt \(OI = x\) với \(0 \le x \le 60{\rm{\;(cm)}}\).
Khi đó độ dài đoạn treo thẳng đứng là: \(IM = OM - OI = 60 - x\).
Độ dài của \(4\) đoạn dây treo nhánh bằng nhau \(IA,IB,IC,ID\) từ \(I\) đến các góc là:
\(IA = \sqrt {O{A^2} + O{I^2}} = \sqrt {{{50}^2} + {x^2}} = \sqrt {2500 + {x^2}} \).
Tổng chiều dài dây thép được sử dụng là: \(f\left( x \right) = 4\sqrt {2500 + {x^2}} + \left( {60 - x} \right){\rm{,}}\,\,\,\,\,{\rm{\;}}x \in \left[ {0;60} \right]\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;60} \right]\):
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{4x}}{{\sqrt {2500 + {x^2}} }} - 1\);
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4x = \sqrt {2500 + {x^2}} \Leftrightarrow 16{x^2} = 2500 + {x^2} \Leftrightarrow 15{x^2} = 2500\)\( \Rightarrow x = \sqrt {\frac{{2500}}{{15}}} = \frac{{50}}{{\sqrt {15} }}{\rm{\;(cm)}}\).
Tính giá trị cực tiểu của \(f\left( x \right)\): \(f\left( {\frac{{50}}{{\sqrt {15} }}} \right) = 4\sqrt {2500 + \frac{{2500}}{{15}}} + 60 - \frac{{50}}{{\sqrt {15} }} = \frac{{1950}}{{\sqrt {15} }} + 60 \approx 253,65{\rm{\;(cm)}}\).
Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị ta thu được tổng chiều dài ngắn nhất là \(254{\rm{\;cm}}\).
Đáp số: \(254\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Tiệm cận ngang:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \). Do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Tiệm cận đứng:
Ta thấy tại điểm bất định \(x = - 1\):
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = - \infty \quad {\rm{v\`a }}\quad \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = + \infty \)
Vậy đường thẳng \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là \(1\).
Đáp án đúng: A
Câu 2
a. \(y' = 3{x^2} - 3\).
b. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là \(5\sqrt 2 \).
c. Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là \(\left( {1;0} \right)\).
d. Giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[ {0;3} \right]\) là \(20\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Ý a): ĐÚNG
Ta có \(y' = 3{x^2} - 3\).
Ý b): SAI
Giải \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\).
Với \(x = - 1 \Rightarrow y = 4\). Điểm cực đại của đồ thị là \(A\left( { - 1;4} \right)\).
Với \(x = 1 \Rightarrow y = 0\) Điểm cực tiểu của đồ thị là \(B\left( {1;0} \right)\).
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị \(A,B\) là:
\(AB = \sqrt {{{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \ne 5\sqrt 2 \).
Ý c): SAI
Điểm cực đại của đồ thị hàm số là \(\left( { - 1;4} \right)\), còn \(\left( {1;0} \right)\) là điểm cực tiểu của đồ thị.
Ý d): ĐÚNG
Tính giá trị hàm số trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\):
Tại các biên: \(y\left( 0 \right) = 2\), \(y\left( 3 \right) = {3^3} - 3 \cdot 3 + 2 = 20\).
Tại điểm cực tiểu \(x = 1 \in \left[ {0;3} \right]\): \(y\left( 1 \right) = 0\).
Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[ {0;3} \right]\) là \(20\).
PHẦN III (3 điểm): Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời các câu hỏi từ câu 1 đến câu 6, mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;0} \right)\).
\(\left( { - \infty ;2} \right)\).
\(\left( {0;2} \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
\( - 5\).
\(1\).
\( - 2\).
\( - 1\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập