Cho phương trình x2 + (m – 1)x – 2m – 3 = 0 (m là tham số) (1). Có bao nhiêu giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn \(\frac{1}{{{{\rm{x}}_1} - 1}} + \frac{1}{{{{\rm{x}}_2} - 1}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: 1
Ta có: \(\Delta\) = (m – 1)2 + 4(2m + 3) = m2 – 2m + 1 + 8m + 12 = m2 + 6m + 13 = (m + 3)2 + 4.
Vì (m + 3)2 + 4 > 0 với mọi giá trị m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Vì a + b + c = 1 + m – 1 – 2m – 3 = –m – 3 ≠ 0.
Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm x1 ≠ 0, x2 ≠ 0.
Theo định lý Viète ta có: x1 + x2 = 1 – m; x1x2 = –2m – 3.
Ta có: \(\frac{1}{{{{\rm{x}}_1} - 1}} + \frac{1}{{{{\rm{x}}_2} - 1}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}\)
\(\frac{{{{\rm{x}}_2} - 1 + {{\rm{x}}_1} - 1}}{{\left( {{{\rm{x}}_1} - 1} \right)\left( {{{\rm{x}}_2} - 1} \right)}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}\)
\(\frac{{{{\rm{x}}_2} + {{\rm{x}}_1} - 2}}{{{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} - \left( {{{\rm{x}}_2} + {{\rm{x}}_1}} \right) + 1}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}\;\,\left( 2 \right)\)
Thay x1 + x2 = 1 – m; x1x2 = –2m – 3 vào (2) ta có:
\(\frac{{1 - {\rm{m}} - 2}}{{ - 2{\rm{m}} - 3 - \left( {1 - {\rm{m}}} \right) + 1}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}\)
\(\frac{{ - 1 - {\rm{m}}}}{{ - {\rm{m}} - 3}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}\) (với m ≠ –3 (*))
\(\frac{{1 + {\rm{m}}}}{{{\rm{m}} + 3}} - \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2} = 0\)
2(m + 1) – (m + 1)(m + 3) = 0
(m +1)(m + 3 – 2) = 0
(m +1)2 = 0
m = –1 (thỏa mãn (*)).
Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. m < 0.
B. m > 1.
C. m > 2.
D. m < 3.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Phương trình x2 – 2(m – 2)x + 2m – 5 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:
∆' = [– (m – 2)]2 – 1.(2m – 5) = m2 – 4m + 4 – 2m + 5
= m2 – 6m + 9 = (m – 3)2 ≥ 0 với mọi m.
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 với mọi m.
Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 2} \right)\\{x_1}{x_2} = 2m - 5\end{array} \right..\)
Theo bài, x1(1 – x2) + x2(1 – x1) < 4
x1 – x1x2 + x2 – x1x2 < 4
(x1 + x2) – 2x1x2 < 4
2(m – 2) – 2.(2m – 5) < 4
2m – 4 – 4m + 10 < 4
–2m < –2
m > 1.
Vậy ta chọn phương án B.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Xét phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:
∆' = [–(m + 1)]2 – 1.4m = m2 + 2m + 1 – 4m
= m2 – 2m + 1 = (m – 1)2 ≥ 0 với mọi m.
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì ∆' > 0, tức là (m – 1)2 > 0, nên (m – 1)2 ≠ 0, suy ra m ≠ 1.
Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\(x = \frac{{m + 1 + m - 1}}{1} = 2m;\,\,x = \frac{{m + 1 - \left( {m - 1} \right)}}{1} = 2.\)
Trường hợp 1. Xét x1 = 2m và x2 = 2, thay vào x1 = –3x2, ta được:
2m = –3.2, suy ra m = –3 (thỏa mãn).
Trường hợp 2. Xét x1 = 2 và x2 = 2m thay vào x1 = –3x2, ta được:
2 = –3.2m. suy ra \(m = - \frac{1}{3}\) (thỏa mãn).
Do đó \(m \in \left\{ { - 3; - \frac{1}{3}} \right\}.\)
Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \[{x_2} = \frac{4}{3}.\]
B. \[{x_2} = - \frac{4}{3}.\]
C. \[{x_2} = \frac{3}{4}.\]
D. \[{x_2} = - \frac{3}{4}.\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(m = \frac{{39}}{{16}}.\)
B. m = 1.
C. \(m = \frac{5}{8}.\)
D. Không có giá trị m.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập