Cho bất phương trình log3(x2 + 2x + 3) – log3(x2 + 1) ≥ log3m (với m là tham số thực). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Cho bất phương trình log3(x2 + 2x + 3) – log3(x2 + 1) ≥ log3m (với m là tham số thực). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 3 > 0\\{x^2} + 1 > 0\\m > 0\end{array} \right.\) (*)
Ta có: x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2 > 0; x2 + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ
⇒ (*) ⇔ m > 0.
Điều kiện của tham số để bất phương trình có nghĩa với mọi x ∈ ℝ là m > 0.
b) Đúng. Ta có: log3(x2 + 2x + 3) – log3(x2 + 1) ≥ log3m
⇔ \({\log _3}\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}\) ≥ log3m. Vì a = 3 > 1
⇒ \(\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}\) ≥ m với mọi x ∈ ℝ.
c) Đúng. Đặt y = \(\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}\) ⇔ y(x2 + 1) = x2 + 2x + 3
⇔ yx2 + y = x2 + 2x + 3 ⇔ yx2 – x2 – 2x + y – 3 = 0
⇔ (y – 1)x2 – 2x + (y – 3) = 0 (1)
*TH1: y – 1 = 0 ⇔ y = 1
Thay y = 1 vào phương trình (1) ⇔ 0 ⋅ x2 – 2x + (1 – 3) = 0 ⇔ –2x – 2 = 0 ⇔ x = –1
*TH2: y – 1 ≠ 0 ⇔ y ≠ 1
Phương trình có nghiệm ⇔ △' ≥ 0 ⇔ (–1)2 – (y – 1)(y – 3) ≥ 0
⇔ –y2 + 4y – 2 ≥ 0 ⇔ 2 – \(\sqrt 2 \) ≤ y ≤ 2 + \(\sqrt 2 \).
Vì 2 – \(\sqrt 2 \) ≤ y ≤ 2 +\(\sqrt 2 \) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) là 2 – \(\sqrt 2 \).
d) Đúng. Theo câu b), ta có \(\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}\) ≥ m với mọi x ∈ ℝ.
Mà f(x) = \(\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}\) nên để bất phương trình đúng với mọi x ∈ ℝ ⇒ m ≤ f(x), ∀x.
⇔ m ≤ fmin. Mà fmin = 2 – \(\sqrt 2 \) ⇒ m ≤ 2 – \(\sqrt 2 \) .
Kết hợp với điều kiện, suy ra 0 < m ≤ 2 – \(\sqrt 2 \).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện: x – 40 > 0 và 60 – x > 0, tức 40 < x < 60.
Bất phương trình trở thành log[(x – 40)(60 – x)] < 2 hay – x2 +100x – 2400 < 102.
Từ đó ta có – x2 +100x – 2500 < 0.
Vì – x2 +100x – 2500 = – (x – 50)2 < 0 với mọi x.
Kết hợp với điều kiện ta được 19 nghiệm nguyên dương của bất phương trình đã cho là:{41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; …..; 59}.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Điều kiện: x > 0 và 2 – x2 > 0, tức .
Bất phương trình trở thành log3x-1 + log3(2 – x2) ≥ 0 hay
⇔
⇔
⇔
⇔ 0 < x ≤ 1 (vì x > 0).
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là 0 < x £ 1.
Vậy bất phương trình có một nghiệm nguyên là x = 1 nên tổng các nghiệm nguyên là 1.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập