Câu hỏi:

30/07/2026 59

Cho bất phương trình log₃(x² + 2x + 3) – log₃(x² + 1) ≥ log₃m (với m là tham số thực). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Điều kiện của tham số để bất phương trình có nghĩa với mọi x ∈ ℝ là m > 0.

Đúng

Sai

b) Bất phương trình đã cho tương đương với $\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}$ ≥ m với mọi x ∈ ℝ.

Đúng

Sai

c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = $\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}$ trên ℝ bằng 2 – $\sqrt 2 $.

Đúng

Sai

d) Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ thì giá trị của tham số m thoả mãn là 0 < m ≤ 2 – $\sqrt 2 $.

Đúng

Sai

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit lớp 11 (có lời giải) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 3 > 0\\{x^2} + 1 > 0\\m > 0\end{array} \right.$ (*)

Ta có: x² + 2x + 3 = (x + 1)² + 2 > 0; x² + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ

⇒ (*) ⇔ m > 0.

Điều kiện của tham số để bất phương trình có nghĩa với mọi x ∈ ℝ là m > 0.

b) Đúng. Ta có: log₃(x² + 2x + 3) – log₃(x² + 1) ≥ log₃m

⇔ ${\log _3}\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}$ ≥ log₃m. Vì a = 3 > 1

⇒ $\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}$ ≥ m với mọi x ∈ ℝ.

c) Đúng. Đặt y = $\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}$ ⇔ y(x² + 1) = x² + 2x + 3

⇔ yx² + y = x² + 2x + 3 ⇔ yx² – x² – 2x + y – 3 = 0

⇔ (y – 1)x² – 2x + (y – 3) = 0 (1)

*TH1: y – 1 = 0 ⇔ y = 1

Thay y = 1 vào phương trình (1) ⇔ 0 ⋅ x² – 2x + (1 – 3) = 0 ⇔ –2x – 2 = 0 ⇔ x = –1

*TH2: y – 1 ≠ 0 ⇔ y ≠ 1

Phương trình có nghiệm ⇔ △' ≥ 0 ⇔ (–1)² – (y – 1)(y – 3) ≥ 0

⇔ –y² + 4y – 2 ≥ 0 ⇔ 2 – $\sqrt 2 $ ≤ y ≤ 2 + $\sqrt 2 $.

Vì 2 – $\sqrt 2 $ ≤ y ≤ 2 +$\sqrt 2 $ nên giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) là 2 – $\sqrt 2 $.

d) Đúng. Theo câu b), ta có $\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}$ ≥ m với mọi x ∈ ℝ.

Mà f(x) = $\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}$ nên để bất phương trình đúng với mọi x ∈ ℝ ⇒ m ≤ f(x), ∀x.

⇔ m ≤ f_min. Mà f_min = 2 – $\sqrt 2 $ ⇒ m ≤ 2 – $\sqrt 2 $ .

Kết hợp với điều kiện, suy ra 0 < m ≤ 2 – $\sqrt 2 $.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình log(x – 40) + log(60 – x) < 2 là:

A. 17;

B. 18;

C. 19;

D. 21.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: x – 40 > 0 và 60 – x > 0, tức 40 < x < 60.

Bất phương trình trở thành log[(x – 40)(60 – x)] < 2 hay – x² +100x – 2400 < 10².

Từ đó ta có – x² +100x – 2500 < 0.

Vì – x² +100x – 2500 = – (x – 50)² < 0 với mọi x.

Kết hợp với điều kiện ta được 19 nghiệm nguyên dương của bất phương trình đã cho là:{41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; …..; 59}.

Câu 2

Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{\frac{1}{3}} x + \log_{3} (2 - x^{2}) \geq 0$ là:

A. 0;

B. 1;

1 + \sqrt{2}

;

\sqrt{2}

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: x > 0 và 2 – x² > 0, tức $0 < x < \sqrt{2}$ .

Bất phương trình trở thành log₃x^-1 + log₃(2 – x²) ≥ 0 hay $\log_{3} (\frac{2 - x^{2}}{x}) \geq 0$

⇔ $\log_{3} (\frac{2 - x^{2}}{x}) \geq 0$

⇔ $\frac{2 - x^{2}}{x} \geq 1$

⇔ $\frac{2 - x^{2} - x}{x} \geq 0$

⇔ 0 < x ≤ 1 (vì x > 0).

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là 0 < x £ 1.

Vậy bất phương trình có một nghiệm nguyên là x = 1 nên tổng các nghiệm nguyên là 1.

Câu 3

Tập nghiệm S của bất phương trình $\log_{\sqrt{3}} (x - 1) + \log_{\frac{1}{3}} (x + 1) \geq 1$ là:

A. $S = [1; \frac{5 + \sqrt{33}}{2}]$

B. $S = [\frac{5 + \sqrt{33}}{2}; + \infty)$

C. $S = [\frac{5 - \sqrt{33}}{2}; \frac{5 + \sqrt{33}}{2}]$

D. $S = (\frac{5 - \sqrt{33}}{2}; \frac{5 + \sqrt{33}}{2})$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Bất phương trình log₂x < 5 có nghiệm là:

A. 0 < x < 32;

B. x < 32;

C. x > 0;

D. Vô nghiệm.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Bất phương trình log₂(x + 8) ≤ log₂(– x² + 6x – 8) là:

A. x < 2;

B. x > 4;

C. 2 < x < 4;

D. Vô nghiệm.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Bất phương trình $\log_{5} x < \log_{\sqrt{5}} (2 - 9 x)$ có nghiệm là:

A. $x < \frac{37 - \sqrt{73}}{162}$

B. $x > \frac{9}{2}$

C. $x > \frac{37 + \sqrt{73}}{162}$

D. $\frac{37 - \sqrt{73}}{162} < x < \frac{37 + \sqrt{73}}{162}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Bất phương trình $\log_{4} (x^{2} - x - 1) \geq \log_{\sqrt{4}} (x - 1)$ có tập nghiệm là:

A. Vô nghiệm;

B. Vô số nghiệm;

S = [0; \sqrt{2}]

;

S = [0; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho bất phương trình log₃(x² + 2x + 3) – log₃(x² + 1) ≥ log₃m (với m là tham số thực). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{\frac{1}{3}} x + \log_{3} (2 - x^{2}) \geq 0$ là:

Tập nghiệm S của bất phương trình $\log_{\sqrt{3}} (x - 1) + \log_{\frac{1}{3}} (x + 1) \geq 1$ là:

Bất phương trình log₂x < 5 có nghiệm là:

Bất phương trình log₂(x + 8) ≤ log₂(– x² + 6x – 8) là:

Bất phương trình $\log_{5} x < \log_{\sqrt{5}} (2 - 9 x)$ có nghiệm là: