Cho phương trình lượng giác \(3 - 4{\sin ^2}\left( {15^\circ - x} \right) = 0\).

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. \(3 - 4{\sin ^2}\left( {15^\circ - x} \right) = 0 \Leftrightarrow 1 + 2\left[ {1 - 2{{\sin }^2}\left( {15^\circ - x} \right)} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow 1 + 2\cos \left( {30^\circ - 2x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {30^\circ - 2x} \right) = - \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {30^\circ - 2x} \right) = \sin \left( { - 30^\circ } \right)\)

\( \Leftrightarrow \sin \left[ {90^\circ - \left( {30^\circ - 2x} \right)} \right] = \sin \left( { - 30^\circ } \right)\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {60^\circ + 2x} \right) = \sin \left( { - 30^\circ } \right)\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}60^\circ + 2x = - 30^\circ + k360^\circ \\60^\circ + 2x = 180^\circ - \left( { - 30^\circ } \right) + k360^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 45^\circ + k180^\circ \\x = 75^\circ + k180^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) Đúng. Đồ thị cắt trục hoành khi và chỉ khi y = 0.

Suy ra \(3 - 4{\sin ^2}\left( {15^\circ - x} \right) = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}\left( {15^\circ - x} \right) = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \sin \left( {15^\circ - x} \right) = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Với x = -45°, ta có: 15° - x = 15° - (-45°) = 60°.

Do đó \(\sin \left( {15^\circ - x} \right) = \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Suy ra \({\sin ^2}\left( {15^\circ - x} \right) = \frac{3}{4}\). Do đó \(y = 3 - 4 \cdot \frac{3}{4} = 0\)

Vậy đồ thị hàm số \(y = 3 - 4{\sin ^2}\left( {15^\circ - x} \right)\) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = -45°.

Vậy đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ -45°.

c) Sai. phương trình \( \Leftrightarrow \sin \left( {60^\circ + 2x} \right) = \sin \left( { - 30^\circ } \right)\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}60^\circ + 2x = - 30^\circ + k360^\circ \\60^\circ + 2x = 180^\circ - \left( { - 30^\circ } \right) + k360^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 45^\circ + k180^\circ \\x = 75^\circ + k180^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

d) Đúng. Xét họ nghiệm \(x = - 45^\circ + k180^\circ \)

Ta có: \( - 90^\circ < - 45^\circ + k180^\circ < 90^\circ \Leftrightarrow - 45^\circ < k180^\circ < 135^\circ \)

=> x = -45°.

Xét họ nghiệm \(x = 75^\circ + k180^\circ \)

Ta có: \( - 90^\circ < 75^\circ + k180^\circ < 90^\circ \Leftrightarrow - 165^\circ < k180^\circ < 15^\circ \Leftrightarrow \frac{{ - 11}}{{12}} < k < \frac{1}{{12}}\).

Vậy trong khoảng \(\left( { - 90^\circ ;90^\circ } \right)\), phương tình có đúng hai nghiệm.