Cho phương trình lượng giác \(\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)\left( {2\cos x - m} \right) = 0\) (1)

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Thay \(x = \frac{{3\pi }}{4}\) vào \(2{\cos ^2}x - 1\) ta được:

\(2{\cos ^2}\frac{{3\pi }}{4} - 1 = 2{\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} - 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 0\).

Suy ra \(\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)\left( {2\cos x - m} \right) = 0\). Do đó \(x = \frac{{3\pi }}{4}\) luôn là nghiệm của phương tình với mọi m.

b) Sai. Khi m = 1, phương trình trở thành: \(\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)\left( {2\cos x - 1} \right) = 0\)

Trường hợp 1: \(2{\cos ^2}x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\).

Trường hợp 2: 2cosx - 1 = 0 ⇔ cosx = \(\frac{1}{2}\) ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Khi m = 1, phương trình có nghiệm là \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\).

c) Sai. Khi m = -1, phương trình trở thành \(\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\)

Trường hợp 1: 2cos²x - 1 = 0 ⇔ \(\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\)

Trên đường tròn lượng giác, ta được các điểm:

k = 0 => \(x = \frac{\pi }{4}\); k = 1 => \(x = \frac{{3\pi }}{4}\); k = 2 => x = \(\frac{{5\pi }}{4}\); k = 3 => \(x = \frac{{7\pi }}{4}\).

Vậy có 4 điểm điểm biểu diễn là \(\frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4};\frac{{5\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4}\)

Trường hợp 2: \(2\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\)

Kết hợp cả 2 trường hợp trên thì có 6 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.

d) Sai. Để phương trình có đúng 3 nghiệm trên khoảng [0; 2π).

Từ (1) ta có: \(\left[ \begin{array}{l}2{\cos ^2}x - 1 = 0\\2\cos x - m = 0\end{array} \right.\)

Xét \(2{\cos ^2}x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\)

Trên khoảng [0; 2π), ta luôn có 4 nghiệm \(x = \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4};\frac{{5\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4}\).

Xét \(2\cos x - m = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{m}{2}\) (*)

Trường hợp 1: |m| > 2. Khi đó: \(\left| {\frac{m}{2}} \right| > 1\). Mà \( - 1 \le \cos x \le 1\) nên phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: m = 2, phương trình (*) trở thành: \(\cos x = 1 \Rightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Trên khoảng [0; 2π), cho k = 0 => x = 0.

Vậy m = 2 có 1 nghiệm.

Trường hợp 3: m = -2, phương trình (*) trở thành \(\cos x = - 1 \Rightarrow x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Trên khoảng [0; 2π), cho k = 0 => x = π.

Vậy m = -2 có đúng 1 nghiệm duy nhất.

Trường hợp 4: -2 < m < 2. Khi đó \( - 1 < \frac{m}{2} < 1\)

Đặt \(\alpha = \arccos \left( {\frac{m}{2}} \right)\) thì \(0 < \alpha < \pi \).

Khi đó phương trình \(\cos x = \frac{m}{2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\).

Do đó -2 < m < 2 có 2 nghiệm.

Vậy phương trình (*) có tổng 5 nghiệm phân biệt.

Do đó, không tồn tại giá trị nào của m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right)\).