Cho hình bình hành \(ABCD\) có tâm \(I\), \(AD = 17\), \(DC = 34\) và \(\widehat {DAB} = 60^\circ \). Gọi \(P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(DC\) và \(AB\).

Gọi \(x\) là số lần tăng giá \(4\) nghìn đồng/kg (\(x \ge 0\)).

• Giá bán cá cho thương lái là: \(p = 50 + 4x\) (nghìn đồng/kg).
• Số cá thừa không bán được cho thương lái là: \(20x{\rm{\;(kg)}}\)
• Số cá bán được cho thương lái với giá \(p\) là: \(2000 - 20x{\rm{\;(kg)}}\).
• Số cá thừa được bán làm thức ăn động vật với giá \(12\) nghìn đồng/kg là: \(20x{\rm{\;(kg)}}\).

Tổng doanh thu thu được mỗi ngày là \(T\left( x \right)\):

\(T\left( x \right) = \left( {2000 - 20x} \right)\left( {50 + 4x} \right) + 20x \cdot 12\)\( = - 80{x^2} + 7240x + 100000\) (nghìn đồng).

Đây là một hàm số bậc hai dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a = - 80 < 0\), do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh:

\({x_0} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{7240}}{{2 \cdot \left( { - 80} \right)}} = \frac{{7240}}{{160}} = 45,25\).

Giá bán cá tương ứng cho thương lái để đạt doanh thu lớn nhất là:

        \(p = 50 + 4 \cdot \left( {45,25} \right) = 50 + 181 = 231\) (nghìn đồng/kg).

Đáp số: \(231\).

Gọi \(r = 13\) là bán kính của mỗi đường tròn nhỏ.

Dựa vào lưới sắp xếp của các đường tròn tiếp xúc nhau:

• Điểm \(B\) và \(C\) nằm trên cùng một hàng ngang. Đoạn \(BC\) nối từ tâm \(B\) đến tâm \(C\) đi qua 3 khoảng cách giữa các tâm tiếp xúc, tương ứng với \(3 \times 2r = 6r = 6 \cdot 13 = 78\).
• Khoảng cách theo phương ngang giữa \(B\) và \(A\) là \(1 \times 2r = 2r = 26\).
• Khoảng cách theo phương đứng (chiều cao) giữa \(A\) và đường thẳng \(BC\) là \(2 \times 2r = 4r = 52\).

Xét hệ tọa độ vuông góc với \(B\left( {0;0} \right)\):

• Tọa độ \(B = \left( {0;0} \right)\).
• Tọa độ \(C = \left( {78;0} \right) \Rightarrow BC = 78\).
• Tọa độ \(A = \left( {26;52} \right)\).

Độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\):

\(a = BC = 78\); \(c = AB = \sqrt {{{26}^2} + {{52}^2}} = 26\sqrt 5 \); \(b = AC = \sqrt {{{\left( {78 - 26} \right)}^2} + {{52}^2}} = 52\sqrt 2 \).

Diện tích tam giác \(ABC\): \(S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot {h_A} = \frac{1}{2} \cdot 78 \cdot 52 = 2028\).

Bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là

\(R = \frac{{a \cdot b \cdot c}}{{4S}} = \frac{{78 \cdot 52\sqrt 2 \cdot 26\sqrt 5 }}{{4 \cdot 2028}}\)\( = 13\sqrt {10} = 41,1096...\).

Làm tròn đến hàng phần mười: \(R \approx 41,1\).

Đáp số: \(41,1\).