Kết quả điều tra mức lương hằng tháng của một số công nhân của hai nhà máy A và B được cho ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Công nhân nhà máy A	4	5	5	47	5	6	4	4
Công nhân nhà máy B	2	9	9	8	10	9	9	11	9

a) Sai. Ta có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = 4\sqrt 2 \cdot 6 \cdot \cos 45^\circ = 24\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 24\).

b) Đúng. Vì \(D\) là trung điểm của \(BC\) nên \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

c) Sai. Áp dụng định lý cosin trong tam giác \(ABC\):

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ = {\left( {4\sqrt 2 } \right)^2} + {6^2} - 2 \cdot 24 = 32 + 36 - 48 = 20\)\( \Rightarrow BC = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \).

d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \).

Để \(AD \bot BE \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( {k\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = 0\)

          \( \Leftrightarrow \frac{k}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}A{B^2} + \frac{k}{2}A{C^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\).

Thay \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 24\), \(A{B^2} = 32\), \(A{C^2} = 36\) nên \(\frac{k}{2} \cdot 24 - \frac{1}{2} \cdot 32 + \frac{k}{2} \cdot 36 - \frac{1}{2} \cdot 24 = 0\)

\( \Leftrightarrow 12k - 16 + 18k - 12 = 0 \Leftrightarrow 30k - 28 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{28}}{{30}} = \frac{{14}}{{15}}\).

a) Sai. Thay \(M\left( {1;2025} \right)\) vào bất phương trình thứ ba: \(1 + 2 \cdot 2025 = 4051 \le 5\) (Sai). Do đó \(M\) không thuộc miền nghiệm.

b) Sai. Bất phương trình chứa dấu "\( \ge \)" nên miền nghiệm lấy cả đường thẳng \({d_2}\) (kể cả bờ \({d_2}\)).

c) Đúng. Giao điểm của các đường thẳng lần lượt tạo thành các đỉnh \(A\left( { - \frac{3}{{11}};\frac{{29}}{{11}}} \right)\) (giao của \({d_2},{d_3}\)), \(B\left( {\frac{5}{2};\frac{5}{4}} \right)\) (giao của \({d_1},{d_3}\)), \(C\left( { - \frac{8}{9}; - \frac{4}{9}} \right)\) (giao của \({d_1},{d_2}\)). Miền nghiệm của hệ là miền tam giác \(ABC\) kể cả biên.

d) Đúng. Giá trị cực đại của biểu thức dạng \(F\left( {x,y} \right) = 3x + 5y\) trên miền đa giác đạt tại một trong các đỉnh \(A,B,C\):

\(F\left( A \right) = 3 \cdot \left( { - \frac{3}{{11}}} \right) + 5 \cdot \left( {\frac{{29}}{{11}}} \right) = \frac{{ - 9 + 145}}{{11}} = \frac{{136}}{{11}} \approx 12,36\)

\(F\left( B \right) = 3 \cdot \left( {\frac{5}{2}} \right) + 5 \cdot \left( {\frac{5}{4}} \right) = \frac{{15}}{2} + \frac{{25}}{4} = \frac{{55}}{4} = 13,75\)

\(F\left( C \right) = 3 \cdot \left( { - \frac{8}{9}} \right) + 5 \cdot \left( { - \frac{4}{9}} \right) = \frac{{ - 44}}{9} \approx - 4,89\)

Vậy \(F\) đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh \(B\left( {\frac{5}{2};\frac{5}{4}} \right)\).