Trong một trận đấu bóng rổ kỷ niệm ngày thành lập trường THPT A, bạn Toàn thực hiện một đường chuyền bóng dài cho bạn Thắng, biết rằng quả bóng di chuyển theo một đường parabol \(\left( P \right)\) như hình vẽ bên dưới.

 

Giả sử trục \(Ox\) trùng với mặt đất, quả bóng rời tay Toàn ở vị trí \(A\) và Thắng bắt được quả bóng ở vị trí \(B,\) khi quả bóng di chuyển từ \(A\) đến \(B\) thì đi qua điểm \(C\).

Biết \(OA = BE = 1,8{\rm{\;m}}\); \(CD = 3,6{\rm{\;m}}\); \(OD = 2,5{\rm{\;m}}\); \(OE = 10{\rm{\;m}}\).

Tìm độ cao lớn nhất của quả bóng so với mặt đất khi Toàn chuyền cho Thắng.

a) Sai. Ta có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = 4\sqrt 2 \cdot 6 \cdot \cos 45^\circ = 24\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 24\).

b) Đúng. Vì \(D\) là trung điểm của \(BC\) nên \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

c) Sai. Áp dụng định lý cosin trong tam giác \(ABC\):

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ = {\left( {4\sqrt 2 } \right)^2} + {6^2} - 2 \cdot 24 = 32 + 36 - 48 = 20\)\( \Rightarrow BC = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \).

d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \).

Để \(AD \bot BE \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( {k\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = 0\)

          \( \Leftrightarrow \frac{k}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}A{B^2} + \frac{k}{2}A{C^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\).

Thay \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 24\), \(A{B^2} = 32\), \(A{C^2} = 36\) nên \(\frac{k}{2} \cdot 24 - \frac{1}{2} \cdot 32 + \frac{k}{2} \cdot 36 - \frac{1}{2} \cdot 24 = 0\)

\( \Leftrightarrow 12k - 16 + 18k - 12 = 0 \Leftrightarrow 30k - 28 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{28}}{{30}} = \frac{{14}}{{15}}\).

a) Sai. Thay \(M\left( {1;2025} \right)\) vào bất phương trình thứ ba: \(1 + 2 \cdot 2025 = 4051 \le 5\) (Sai). Do đó \(M\) không thuộc miền nghiệm.

b) Sai. Bất phương trình chứa dấu "\( \ge \)" nên miền nghiệm lấy cả đường thẳng \({d_2}\) (kể cả bờ \({d_2}\)).

c) Đúng. Giao điểm của các đường thẳng lần lượt tạo thành các đỉnh \(A\left( { - \frac{3}{{11}};\frac{{29}}{{11}}} \right)\) (giao của \({d_2},{d_3}\)), \(B\left( {\frac{5}{2};\frac{5}{4}} \right)\) (giao của \({d_1},{d_3}\)), \(C\left( { - \frac{8}{9}; - \frac{4}{9}} \right)\) (giao của \({d_1},{d_2}\)). Miền nghiệm của hệ là miền tam giác \(ABC\) kể cả biên.

d) Đúng. Giá trị cực đại của biểu thức dạng \(F\left( {x,y} \right) = 3x + 5y\) trên miền đa giác đạt tại một trong các đỉnh \(A,B,C\):

\(F\left( A \right) = 3 \cdot \left( { - \frac{3}{{11}}} \right) + 5 \cdot \left( {\frac{{29}}{{11}}} \right) = \frac{{ - 9 + 145}}{{11}} = \frac{{136}}{{11}} \approx 12,36\)

\(F\left( B \right) = 3 \cdot \left( {\frac{5}{2}} \right) + 5 \cdot \left( {\frac{5}{4}} \right) = \frac{{15}}{2} + \frac{{25}}{4} = \frac{{55}}{4} = 13,75\)

\(F\left( C \right) = 3 \cdot \left( { - \frac{8}{9}} \right) + 5 \cdot \left( { - \frac{4}{9}} \right) = \frac{{ - 44}}{9} \approx - 4,89\)

Vậy \(F\) đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh \(B\left( {\frac{5}{2};\frac{5}{4}} \right)\).