Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Các đường phân giác \(BD\) \[\left( {D \in AC} \right)\] và \(CE\) \(\left( {E \in AB} \right)\) cắt nhau tại \(I\). Cho biết \(CE \bot AB\). Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

i) \(IE \cdot IB = ID \cdot IC\).

ii) \(AE \cdot AB = AD \cdot AC\).

iii) \(IB \cdot IC = ID \cdot IE\).

Chọn C.

Hình ảnh thang, tường và mặt đất tạo thành một tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) với \(AB\) là mặt tường, \(BC\) là độ dài của thang \[\left( {5{\rm{ m}}} \right)\], \(AC\) là khoảng cách từ chân thang đến tường\(\left( {3\,\,{\rm{m}}} \right)\) được mô tả bởi hình vẽ dưới đây:

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) hay \(AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\) (m).

Vậy đỉnh thang chạm tường ở độ cao \(4\) mét so với mặt đất.

Đáp án: a) Đúng.                    b) Sai.                c) Đúng.        d) Đúng.

a) Đúng. Ta có các tỉ số: \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\) suy ra \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{2}{3}\) .

b) Sai. Xét  \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\) có: \(\widehat {A\,\,}\) là góc chung và \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{2}{3}\).

Do đó $\Delta ADE\backsim \Delta ABC$ (c.g.c).

c) Đúng. Vì $\Delta ADE\backsim \Delta ABC$ nên \(\frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{2}{3}\) suy ra \(DE = \frac{2}{3} \cdot BC = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8\) (cm).

Vì \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{2}{3}\) nên theo định lí Thales đảo trong tam giác \(ABC\) thì \(DE\,{\rm{//}}\,BC\).

Vì \(DE\,{\rm{//}}\,BC\) nên \(\widehat {IED} = \widehat {IBC}\) và \(\widehat {IDE} = \widehat {ICB}\) (hai góc so le trong) suy ra $\Delta IDE\backsim \Delta ICB$ (g.g). \(\)

d) Đúng. Ta có  $\Delta IDE\backsim \Delta ICB$ với tỉ số đồng dạng \(k = \frac{{DE}}{{CB}} = \frac{{ID}}{{IC}} = \frac{{IE}}{{IB}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3}\).

Suy ra \(ID = \frac{2}{3} \cdot IC;\,\,IE = \frac{2}{3} \cdot IB;\,\,DE = \frac{2}{3} \cdot CB\).

Suy ra \(\frac{{{C_{\Delta IDE}}}}{{{C_{\Delta ICB}}}} = \frac{{ID + IE + DE}}{{IC + IB + CB}} = \frac{{\frac{2}{3}IC + \frac{2}{3}IB + \frac{2}{3}CB}}{{IC + IB + CB}} = \frac{{\frac{2}{3}\left( {IC + IB + CB} \right)}}{{IC + IB + CB}} = \frac{2}{3} = k.\)

Chu vi \(\Delta ICB = 18\) cm thì \({C_{\Delta IDE}} = \frac{2}{3} \cdot {C_{\Delta ICB}} = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12\) (cm).