Một bức ảnh hình chữ nhật có chiều dài \(12\) cm và chiều rộng \(8\) cm. Người ta dùng máy phô tô thu nhỏ bức ảnh đó thu được bức ảnh mới giữ nguyên tỉ lệ so với bức ảnh ban đầu. Biết chiều dài bức ảnh mới là \(6\) cm. Chiều rộng của bức ảnh mới là:

Đáp án: a) Sai.           b) Đúng.           c) Đúng.        d) Sai.

a) Sai. Xét \(\Delta ABC\) có: \({9^2} + {12^2} = {15^2} = 225\) suy ra \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) hay \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\).

b) Đúng. Ta có \(AC \bot AB\) và \(PM \bot AB\) nên \(AC\,{\rm{//}}\,PM\) suy ra \(\widehat {NCM} = \widehat {PMB}\) (đồng vị).

Xét \(\Delta BMP\) và \(\Delta MCN\) có \(\widehat {BPM} = \widehat {MNC} = 90^\circ \) và \(\widehat {PMB} = \widehat {NCM}\).

Do đó $\Delta BMP\backsim \Delta MCN$ (g.g).

c) Đúng. Vì \(AC\,{\rm{//}}\,PM\) nên  suy ra \[\frac{{BP}}{{BA}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{6}{{15}} = \frac{2}{5}\].

Do đó \(\frac{{BP}}{9} = \frac{2}{5}\) suy ra \(BP = 3,6\) (cm) nên \(AP = AB - BP = 5,4\) (cm).

Vậy \(AP = 5,4\) cm.

d) Sai. Vì $\Delta BPM\backsim \Delta BAC$ nên \(\frac{{BP}}{{BA}} = \frac{{PM}}{{AC}}\) hay \(PM = \frac{{BP \cdot AC}}{{AB}} = \frac{{3,6 \cdot 12}}{9} = 4,8\) (cm).

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \(APM\) vuông tại \(P\) ta có:

\(A{M^2} = A{P^2} + P{M^2} = {5,4^2} + {4,8^2} = 52,2\) suy ra \(AM = 7,22\) (cm).

Vậy \(AM = 7,22\) cm.

Đáp án: a) Đúng.                    b) Sai.                c) Đúng.        d) Đúng.

a) Đúng. Ta có các tỉ số: \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\) suy ra \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{2}{3}\) .

b) Sai. Xét  \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\) có: \(\widehat {A\,\,}\) là góc chung và \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{2}{3}\).

Do đó $\Delta ADE\backsim \Delta ABC$ (c.g.c).

c) Đúng. Vì $\Delta ADE\backsim \Delta ABC$ nên \(\frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{2}{3}\) suy ra \(DE = \frac{2}{3} \cdot BC = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8\) (cm).

Vì \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{2}{3}\) nên theo định lí Thales đảo trong tam giác \(ABC\) thì \(DE\,{\rm{//}}\,BC\).

Vì \(DE\,{\rm{//}}\,BC\) nên \(\widehat {IED} = \widehat {IBC}\) và \(\widehat {IDE} = \widehat {ICB}\) (hai góc so le trong) suy ra $\Delta IDE\backsim \Delta ICB$ (g.g). \(\)

d) Đúng. Ta có  $\Delta IDE\backsim \Delta ICB$ với tỉ số đồng dạng \(k = \frac{{DE}}{{CB}} = \frac{{ID}}{{IC}} = \frac{{IE}}{{IB}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3}\).

Suy ra \(ID = \frac{2}{3} \cdot IC;\,\,IE = \frac{2}{3} \cdot IB;\,\,DE = \frac{2}{3} \cdot CB\).

Suy ra \(\frac{{{C_{\Delta IDE}}}}{{{C_{\Delta ICB}}}} = \frac{{ID + IE + DE}}{{IC + IB + CB}} = \frac{{\frac{2}{3}IC + \frac{2}{3}IB + \frac{2}{3}CB}}{{IC + IB + CB}} = \frac{{\frac{2}{3}\left( {IC + IB + CB} \right)}}{{IC + IB + CB}} = \frac{2}{3} = k.\)

Chu vi \(\Delta ICB = 18\) cm thì \({C_{\Delta IDE}} = \frac{2}{3} \cdot {C_{\Delta ICB}} = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12\) (cm).