Cho \(a,b\) là các số thực dương lớn hơn \(1\). Ta định nghĩa một phép toán mới, ký hiệu là dấu chấm tròn (•), được xác định bởi công thức sau: \(a \bullet b = {\log _a}b + {\log _b}a\). Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
Kết quả của phép toán \(2 \bullet 2\) bằng \(2\).
Cho \(a = 2\), nếu kết quả phép toán \(a \bullet b = 2,5\) thì giá trị của \(b\) có thể là \(4\) hoặc \(\sqrt 2 \).
Với mọi số thực \(a,b > 1\), kết quả của phép toán \(a \bullet b\) luôn thỏa mãn điều kiện \(a \bullet b \ge 2\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: Đúng – Đúng – Đúng.
Thay \(a = 2\) và \(b = 2\) vào công thức định nghĩa: \(2 \bullet 2 = {\log _2}2 + {\log _2}2 = 1 + 1 = 2\) nên phát biểu thứ nhất đúng.
Thay \(a = 2\) vào biểu thức: \({\log _2}b + {\log _b}2 = 2,5 \Leftrightarrow {\log _2}b + \frac{1}{{{{\log }_2}b}} = 2,5\).
Đặt \(t = {\log _2}b\), phương trình trở thành: \(t + \frac{1}{t} = 2,5 \Leftrightarrow 2{t^2} - 5t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = 0,5\end{array} \right.\).
\(t = 2 \Rightarrow {\log _2}b = 2 \Rightarrow b = {2^2} = 4\).
\(t = 0,5 \Rightarrow {\log _2}b = 0,5 \Rightarrow b = {2^{0,5}} = \sqrt 2 \). Do đó phát biểu thứ hai đúng.
Vì \(a,b > 1\) nên \({\log _a}b > 0\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho hai số dương \({\log _a}b\) và \({\log _b}a\):
\({\log _a}b + {\log _b}a \ge 2\sqrt {{{\log }_a}b \cdot {{\log }_b}a} \)
Mà \({\log _a}b \cdot {\log _b}a = 1\). Suy ra: \(a \bullet b \ge 2\sqrt 1 = 2\) nên phát biểu thứ ba đúng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án: \(45^\circ \).
Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \((ABCD)\) là điểm \(A\) (vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)).
Do đó, hình chiếu của đường thẳng \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là đường thẳng \(AC\).
Góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) chính là góc \(\widehat {SCA}\).
Xét tam giác vuông \(ABC\) cạnh \(a\): \(AC = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \).
Xét tam giác vuông \(SAC\): \(tan\widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 2 }} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = 45^\circ \).
Câu 2
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới bởi 1.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án: Đúng – Đúng.
Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {2\left( {n + 1} \right) - \frac{1}{{n + 1}}} \right] - \left[ {2n - \frac{1}{n}} \right] = 2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = 2 + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} > 0\).
Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng. Do đó phát biểu thứ nhất đúng.
Vì dãy tăng nên \({u_n} \ge {u_1} = 2 \cdot 1 - \frac{1}{1} = 1\). Dãy bị chặn dưới bởi 1 nên phát biểu thứ hai đúng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
\(2{a^3}\).
\(8{a^3}\).
\(\frac{{8{a^3}}}{3}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số có 2 điểm cực tiểu.
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \(\left( {0;1} \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập