Cho \(a,b\) là các số thực dương lớn hơn \(1\). Ta định nghĩa một phép toán mới, ký hiệu là dấu chấm tròn (•), được xác định bởi công thức sau: \(a \bullet b = {\log _a}b + {\log _b}a\). Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Đáp án: \(45^\circ \).

Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \((ABCD)\) là điểm \(A\) (vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)).

Do đó, hình chiếu của đường thẳng \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là đường thẳng \(AC\).

Góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) chính là góc \(\widehat {SCA}\).

Xét tam giác vuông \(ABC\) cạnh \(a\): \(AC = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \).

Xét tam giác vuông \(SAC\): \(tan\widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 2 }} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = 45^\circ \).

Đáp án: 4.

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 4 > 0}\\{f\left( {x + 1} \right) \ne 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > 2\end{array} \right.\\f\left( {x + 1} \right) \ne 4\end{array} \right.\)

Xét \[f\left( {x + 1} \right) = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = \alpha \in \left( { - 1;1} \right)\\x + 1 = 2\\x + 1 = \beta \in \left( {4; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha - 1 \in \left( { - 2;0} \right)\left( L \right)\\x = 1\left( L \right)\\x = \beta - 1 \in \left( {3; + \infty } \right)\left( {TM} \right)\end{array} \right.\]

Khi đó:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty \Rightarrow x = \pm 2\)là hai đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \left( {\beta - 1} \right)} \left( {f\left( {x + 1} \right) - 4} \right)\sqrt {{x^2} - 4} = 0,\,\,\left( {f\left( {x + 1} \right) - 4} \right)\sqrt {{x^2} - 4} > 0\) khi \(x \to {\left( {\beta - 1} \right)^ - }\) và

\(\left( {f\left( {x + 1} \right) - 4} \right)\sqrt {{x^2} - 4} < 0\) khi \(x \to {\left( {\beta - 1} \right)^ + }\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\beta - 1} \right)}^ - }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\beta - 1} \right)}^ + }} y = - \infty \)

\( \Rightarrow x = \beta - 1\)là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có \(3\) tiệm cận đứng.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0\) nên đồ thị hàm số có \(1\) tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số có \(4\) đường tiệm cận gồm \(3\) đường tiệm cận đứng và \(1\) đường tiệm cận ngang.