Cho hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1\). Những phát biểu nào dưới đây đúng?

Đáp án: \(45^\circ \).

Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \((ABCD)\) là điểm \(A\) (vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)).

Do đó, hình chiếu của đường thẳng \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là đường thẳng \(AC\).

Góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) chính là góc \(\widehat {SCA}\).

Xét tam giác vuông \(ABC\) cạnh \(a\): \(AC = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \).

Xét tam giác vuông \(SAC\): \(tan\widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 2 }} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = 45^\circ \).

Đáp án: 4.

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 4 > 0}\\{f\left( {x + 1} \right) \ne 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > 2\end{array} \right.\\f\left( {x + 1} \right) \ne 4\end{array} \right.\)

Xét \[f\left( {x + 1} \right) = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = \alpha \in \left( { - 1;1} \right)\\x + 1 = 2\\x + 1 = \beta \in \left( {4; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha - 1 \in \left( { - 2;0} \right)\left( L \right)\\x = 1\left( L \right)\\x = \beta - 1 \in \left( {3; + \infty } \right)\left( {TM} \right)\end{array} \right.\]

Khi đó:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty \Rightarrow x = \pm 2\)là hai đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \left( {\beta - 1} \right)} \left( {f\left( {x + 1} \right) - 4} \right)\sqrt {{x^2} - 4} = 0,\,\,\left( {f\left( {x + 1} \right) - 4} \right)\sqrt {{x^2} - 4} > 0\) khi \(x \to {\left( {\beta - 1} \right)^ - }\) và

\(\left( {f\left( {x + 1} \right) - 4} \right)\sqrt {{x^2} - 4} < 0\) khi \(x \to {\left( {\beta - 1} \right)^ + }\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\beta - 1} \right)}^ - }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\beta - 1} \right)}^ + }} y = - \infty \)

\( \Rightarrow x = \beta - 1\)là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có \(3\) tiệm cận đứng.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0\) nên đồ thị hàm số có \(1\) tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số có \(4\) đường tiệm cận gồm \(3\) đường tiệm cận đứng và \(1\) đường tiệm cận ngang.