(0,5 điểm) Bác Bình có mảnh vườn hình vuông \[ABCD\] có cạnh bằng 10 m. Ở bốn góc vườn, bác Bình muốn trồng hoa thành các hình tam giác vuông bằng nhau (hình vẽ). Hãy tính khoảng cách từ góc vườn \[A\] đến vị trí \[E\] sao cho tứ giác \[EFGH\] có chu vi nhỏ nhất.

Gọi chiều dài và chiều rộng miếng đất lần lượt là \(a;b\) (m) (\(a > 5,b > 4\)).

Chiều dài lớn hơn chiều rộng 5 m nên ta có: \(a - b = 5\) (1)

Theo bài ra ta có:

\(\left( {a - 5} \right)\left( {b - 4} \right) = ab - 180\)

\(ab - 4a - 5b + 20 = ab - 180\)

\( - 4a - 5b =  - 200\)

\(4a + 5b = 200\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - b = 5}\\{4a + 5b = 200}\end{array}} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5a - 5b = 25}\\{4a + 5b = 200}\end{array}} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới ta được:

\(9a = 225\) hay \(a = 25\) (thoả mãn điều kiện).

Thế \(a = 25\) vào phương trình thứ (1) ta được \(b = 20\) (thoả mãn điều kiện).

Vậy chiều dài miếng đất là \[25{\rm{ m}}\]và chiều rộng miếng đất là \[{\rm{20 m}}\].

a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), theo định lý Pythagore ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\)

Suy ra \(BC = 5\) (cm).

Tính các góc: \[\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}{\rm{ = }}\frac{4}{5}\] suy ra \[\widehat B \approx 53^\circ \].

                       \(\sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5}\) suy ra \(\widehat C \approx 37^\circ \).

b) Có \[AH \bot BC,{\rm{ }}HE \bot AB,{\rm{ }}HF \bot AC\] nên \(\widehat A = \widehat E = \widehat F = 90^\circ \).

Suy ra tứ giác \(AEHF\) là hình chữ nhật.

Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta HBE\) có:

\(\widehat {AEH} = \widehat {HEB} = 90^\circ ,\,\,\widehat {HAE} = \widehat {BHE}\) (cùng phụ với \(\widehat {AHE})\)

Do đó  (g.g) nên \(\frac{{AE}}{{HE}} = \frac{{HE}}{{BE}}\) suy ra \[E{H^2} = AE.EB\].

Chứng minh tương tự, ta có \[H{F^2} = {\rm{ }}AF.FC\].

Lại có: \[E{F^2} = E{H^2} + H{F^2}\] (định lý Pythagore trong tam giác vuông \(EHF\))

Suy ra: \(AE.EB + AF.FC = E{F^2}\).

Vậy \(AE.EB + AF.FC = E{F^2}\).

c) Xét \(\Delta BEH\) vuông tại \(E\), ta có: \(\cos B = \frac{{BE}}{{BH}}\) (1)

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\), ta có: \(\cos B = \frac{{BH}}{{AB}}\) (2)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có: \(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}}\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \({\cos ^3}B = \frac{{BE}}{{BC}}\).

Vậy \(BE = BC.co{s^3}B\).