Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] và đường cao \[AH\].

a) Biết \[\widehat {ACB} = 30^\circ \] cm và \(BC = 20\,{\rm{cm}}\). Hãy tính \[\widehat {ABC};AB;AC\] (số đo góc làm tròn đến độ).

b) Kẻ \(HD,HE\) lần lượt vuông góc với \(AB;AC\) ( \(D\) thuộc \(AB\), \(E\) thuộc \(AC\) ). Chứng minh: \(AB.AD = A{H^2}\). Từ đó suy ra \(AB.AD = AE.AC\).

c) Lấy điểm \(M\) nằm giữa \(E\) và \(C\), kẻ \(AI\) vuông góc với \(MB\) tại \(I\). Chứng minh: \(\sin \widehat {AMB}.\sin \widehat {ACB} = \frac{{HI}}{{CM}}\).

a) Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \[\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \]

Hay \[\widehat {ABC} + 30^\circ  = 90^\circ \]

Suy ra \[\widehat {ABC} = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ \].

Ta có \[\sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}}\] hay \[\sin 30^\circ  = \frac{{AB}}{{20}} = \frac{1}{2}\] nên \[AB = 10\] (cm);

     \[{\rm{cos}}\widehat {ACB} = \frac{{AC}}{{BC}}\] hay \[{\rm{cos}}\,30^\circ  = \frac{{AC}}{{20}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\] nên \[AC = 10\sqrt 3 \left( {{\rm{cm}}} \right)\].

b) Xét \[\Delta ADH\] và \[\Delta AHB\] có:

\[\widehat {ADH} = \widehat {AHB} = 90^\circ \] và \[\widehat {DAH}\] là góc chung

Do đó $\Delta ADH\backsim \Delta AHB$ (g.g).

Suy ra \[\frac{{AD}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\] nên \[A{H^2} = AD \cdot AB.\] (1)

Xét \[\Delta AEH\] và \[\Delta AHC\] có:

\[\widehat {AEH} = \widehat {AHC} = 90^\circ \] và \[\widehat {EAH}\] là góc chung

Do đó $\Delta AEH\backsim \Delta AHC$ (g.g).

Suy ra \[\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\] nên \[A{H^2} = AC \cdot AE.\] (2)

Từ (1) và (2) ta có \[AD.AB = AE.AC\].

c) Xét \[\Delta IBA\] và \(\Delta ABM\) có:

\(\widehat I = \widehat A = 90^\circ \), \(\widehat {MBA}\) là góc chung

Do đó $\Delta IBA\backsim \Delta ABM$ (g.g).

Suy ra \(\widehat {AMB} = \widehat {IAB}\) nên \(\sin \widehat {AMB} = \sin \widehat {IAB} = \frac{{BI}}{{AB}}\). \(\left( 3 \right)\)

Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \(\sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}}\). \(\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) suy ra: \(\sin \widehat {AMB}.\sin \widehat {ACB} = \frac{{BI}}{{AB}}.\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BI}}{{BC}}\). \(\left( * \right)\)

Xét \[\Delta HBA\] và \(\Delta ABC\) có :

\(\widehat H = \widehat A = 90^\circ \), \(\widehat {ABC}\) là góc chung

Do đó $\Delta HBA\backsim \Delta ABC$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{HB}}{{AB}} = \frac{{BA}}{{CB}}\) nên \(A{B^2} = BH.BC\)  (5)

Mặt khác, từ $\Delta IBA\backsim \Delta ABM$ suy ra \(\frac{{AB}}{{BM}} = \frac{{BI}}{{AB}}\) nên \(A{B^2} = BI.BM\) \(\left( 6 \right)\)

Từ \(\left( 5 \right)\) và \(\left( 6 \right)\) suy ra: \(BI.BM = A{B^2} = BH.BC\) nên \(\frac{{BI}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BM}}\).

Xét \(\Delta BIH\) và \(\Delta BCM\) có:

\(\frac{{BI}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BM}}\) (cmt) và \(\widehat {CBM}\) là góc chung

Do đó $\Delta BIH\backsim \Delta BCM$ (c.g.c).

Suy ra \(\frac{{BI}}{{BC}} = \frac{{HI}}{{MC}}\)  \(\left( {**} \right)\).

Từ \(\left( * \right)\) và \(\left( {**} \right)\) suy ra: \(\sin \widehat {AMB}.\sin \widehat {ACB} = \frac{{HI}}{{CM}}\).