Trên đường tròn (O)  lấy ba điểm A, B và C.  Gọi M, N và P theo thứ tự là điểm chính giữa cua các cung AB, BC và AC. BP cắt AN tại I, NM cắt AB tại E. Gọi D là giao điểm của AN và BC. Chứng minh:

a, Tam giác BNI cân

b, AE.BN = EB.AN

c, EI song song BC

d, $\frac{AN}{BN}=\frac{AB}{BD}$

Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai cát tuyến PAB và PCD (A nằm giữa P và B, C nằm giữa P và D), các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại Q

a, Cho biết $\hat{P}={60}^0$ và $\widehat{AQC}={80}^0$. Tính góc $\widehat{BCD}$

b, Chứng minh PA.PB = PC.PD

Tam giác MNP nội tiếp đường tròn tâm (O), các điểm I, K, H là điểm chính giữa của các cung MN, NP, PM. Gọi J là giao điểm của IK và MN, G là giao điểm của HK và MP. Chứng minh JG song song với NP

Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến MA và cát tuyến MCB với A,B,C Î (O). Phân giác góc $\widehat{BAC}$ cắt BC tại D, cắt (O) tại N. Chứng minh:

a, MA = MD

b, Cho cát tuyến MCB quay quanh M và luôn cắt đưòng tròn. Chứng minh MB.MC không đổi

c, $N{B}^2=NA.ND$

Cho tam giác đều MNP nội tiếp đường tròn tâm (O). Điểm D di chuyển trên $\stackrel{⏜}{MP}$. Gọi E là giao điểm của MP và ND, gọi F là giao điểm của MD và NP. Chứng minh: $\widehat{MFN}=\widehat{MND}$

Từ một điểm A bên ngoài (O), vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD. Tia phân giác của góc $\widehat{BAC}$ cắt BC và BD lần lượt tại M và N. Vẽ dây BF vuông góc với MN, cắt MN tại H, cắt CD tại E. Chứng minh:

a, Tam giác BMN cân

b, $F{D}^2=FE.FB$