Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tói đường tròn (M, N là hai tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O; R) tại B và C (AB < AC). Gọi I là trung điểm BC

a, Chứng minh năm điểm A, M, N, O, I thuộc một đường tròn

b, Chứng minh $A{M}^2=AB.AC$

c, Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN tại E. Chúng minh IE song song MC

d, Chứng minh khi d thay đổi quanh quanh điểm A thì trọng tâm G của tam giác MBC luôn nằm trên một đường tròn cố định

Cho đường tròn (O) đường kính AB, gọi I là trung điểm của OA, dây CD vuông góc với AB tại I.  Lấy K tùy ý trên cung BC nhỏ, AK cắt CD tại H

a, Chứng minh tứ giác BIHK là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh AHAK có giá trị không phụ thuộc vị trí điểm K

c, Kẻ DN ^ CB, DM ^ AC. Chứng minh các đường thẳng MN, AB, CD đồng quy

Cho nửa (O) đường kính AB. Lấy M Î OA (M không trùng O và A). Qua M vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Trên d lấy N sao cho ON > R. Nối NB cắt (O) tại C. Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (E là tiếp điểm, E và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d). Chứng minh:

a, Bốn điểm O, E, M, N cùng thuộc một đường tròn

b, $N{E}^2=NC.NB$

c, $\widehat{NEH}=\widehat{NME}$ (H là giao điểm của AC và d)

d, NF là tiếp tuyến (O) với F là giao điểm của HE và (O)

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK  ^ AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chứng minh:

a, Tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp

b, AH.AB = $A{D}^2$

c, Tam giác ACE là tam giác cân