Tìm b nguyên để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

a) $\mathrm{M}=\frac{3{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{b}-15}{\mathrm{b}+2}$ với $\mathrm{b}\ne -2;$ 

b) $\mathrm{N}=\frac{{\mathrm{b}}^2-\mathrm{b}}{\mathrm{b}-3}$ với $\mathrm{b}\ne 3.$

Tìm x, biết:

a) $\frac{2\mathrm{x}+1}{{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+4}-\frac{2\mathrm{x}+5}{{\mathrm{x}}^2-4}=0$ với $\mathrm{x}\ne \pm 2;$ 

b) $\frac{3}{\mathrm{x}-2}-\frac{4\mathrm{x}}{4-{\mathrm{x}}^2}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+2}=0$ với $\mathrm{x}\ne \pm 2;$

Tìm điều kiện của x để các phân thức sau xác định:

a) $\frac{2\mathrm{x}}{2\mathrm{x}-6};$                          b) $\frac{1}{{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+4};$ 

c) $\frac{\mathrm{x}}{27{\mathrm{x}}^3+27{\mathrm{x}}^2+9\mathrm{x}+1};$     d) $\frac{5}{4\mathrm{x}-3\mathrm{x}{}^2}.$

Tính giá trị của các biểu thức:

a) $\mathrm{A}=\frac{3{\mathrm{m}}^2-2\mathrm{m}}{9{\mathrm{m}}^2-12\mathrm{m}+4}$ tại $\mathrm{m}=-8;$ 

b) $\mathrm{B}=\frac{{\mathrm{n}}^2+7\mathrm{n}+6}{{\mathrm{n}}^3+6{\mathrm{n}}^2-\mathrm{n}-6}$ tại $\mathrm{n}=1000001.$

Cho biểu thức $\mathrm{M}=\left(\frac{\mathrm{x}+1}{2\mathrm{x}-2}+\frac{3}{{\mathrm{x}}^2-1}-\frac{\mathrm{x}+3}{2\mathrm{x}+2}\right).\frac{{\mathrm{x}}^2-1}{15}.$ 

a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị biểu thức được xác định;

b) Chứng minh rằng biểu thức được xác định thì giá trị của nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Chứng minh đẳng thức:

a) $\left(\frac{{\mathrm{a}}^2-3\mathrm{a}}{{\mathrm{a}}^2+9}-\frac{6{\mathrm{a}}^2}{27-9\mathrm{a}+3{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{a}}^3}\right)$$.\left(1-\frac{2}{\mathrm{a}}-\frac{3}{{\mathrm{a}}^2}\right)=\frac{\mathrm{a}+1}{\mathrm{a}}$ với $\mathrm{a}\ne 0;3;$ 

b) $\left[\frac{2}{5\mathrm{b}}-\frac{2}{\mathrm{b}+1}.\left(\frac{\mathrm{b}+1}{5\mathrm{b}}-\frac{3}{5}\mathrm{b}-\frac{3}{5}\right)\right]:\frac{\mathrm{b}-1}{\mathrm{b}}=\frac{6\mathrm{b}}{5(\mathrm{b}-1)}$ với $\mathrm{b}\ne 0;\pm 1.$

a) Với giả thiết là các biểu thức đều có nghĩa. Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số:

i) $1+\frac{1}{\mathrm{x}};$                ii) $1+\frac{1}{1+\frac{1}{\mathrm{x}}};$              iii) $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\mathrm{x}}}};$

b) Em hãy dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\mathrm{x}}}}}}$ thành phân thức đại số và kiểm tra lại đoán đó.

Chứng tỏ với $\mathrm{x}\ne 0$ và $\mathrm{x}\ne \pm \mathrm{a}$ (a là một số nguyên), giá trị của biểu thức: $\mathrm{P}=\left(\mathrm{a}-\frac{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{a}}^2}{\mathrm{x}+\mathrm{a}}\right).\left(\frac{4\mathrm{a}}{\mathrm{x}}-\frac{8\mathrm{a}}{\mathrm{x}-\mathrm{a}}\right)$ là một số chẵn.