Cho $∆\mathrm{ABC}$, các đường phân giác của các góc trong $\hat{\mathrm{B}},\hat{\mathrm{C}}$ gặp nhau tại S, các đường phân giác của các góc ngoài $\hat{\mathrm{B}}$ và $\hat{\mathrm{C}}$ gặp nhau tại E. Chứng minh rằng:

a) BSCE là tứ giác nội tiếp.

b) Ba điểm A, S, E thẳng hàng.

c) Trung điểm M của SE thuộc đường tròn ngoại tiếp $∆\mathrm{ABC}$

Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ $\mathrm{EF}\perp \mathrm{AD}$. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng.

a) Tứ giác ABE F, DCEF nội tiếp được.

b) Tia CA là tia phân giác của góc

Tứ giác BCMF nội tiếp được.

Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn trên cung nhỏ AB lấy điểm C. Vẽ $\mathrm{CD}\perp \mathrm{AB}, \mathrm{CE}\perp \mathrm{MA}, \mathrm{CF}\perp \mathrm{MB}$. Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng

a) Tứ giác AECD nội tiếp được.

b) Tứ giác BFCD nội tiếp được

c) ${\mathrm{CD}}^2$ = CE.CF

d) IK // AB

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn. Trên tia Bx lấy hai điểm C và D (C nằm giữa B và D). Các tia AC và AD lần lượt cắt đường tròn tại E và F. Hai dây AE và BF cắt nhau tại M. Hai tia AF và BE cắt nhau tại N. Chứng minh rằng

a) MN // Bx.

b) Tứ giác CDFE nội tiếp được.

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Đường thẳng qua C vuông góc với CM cắt các tia AB, AD lần lượt tại E và F. Tia CM cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh rằng

a) Tứ giác AMCF nội tiếp được.

b) Tứ giác ANEC nội tiếp được.

c) CM + CN = EF

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tia OA cắt đường tròn (O’) tại C, tia O’A cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh rằng

a) Tứ giác OO’CD nội tiếp

b) Tứ giác OBO’C nội tiếp

c) Năm điểm O, O’, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

Cho tam giác ABC, các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC.

a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp được trong một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.

b) Đường thẳng DH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I. Chứng minh rằng 5 điểm A, I, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn.

Cho nửa đường tròn đường kính AB và một dây CD. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với CD, cắt AB tại I. các tiếp tuyến tại A và B của nửa đường tròn cắt đường thẳng CD theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng:

a) Các tứ giác AECI và BFCI nội tiếp được.

b) $∆\mathrm{IEF}~∆\mathrm{CAB}$ từ đó suy ra $∆\mathrm{IEF}$ vuông.