Bài tập Tứ giác nội tiếp có đáp án

Câu 1/20

Chứng minh rằng hình chữ nhật ABCD nội tiếp được.

Lời giải

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD, ta có ngay

OA = OB = OC = OD => ABCD nội tiếp trong (O; OA)

Câu 2/20

Cho tam giác ABC đều. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB = DC và $\hat{DCB} = \frac{1}{2} \hat{ACB}$
a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp.
b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D.

Lời giải

Vậy tứ giác ABDC nội tiếp.

b) Do đường tròn ngoại tiếp ABC cũng đồng thời là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD nên để xác định tâm đường tròn đi qua A, B, C, D chỉ cần tìm giao điểm O của AD với đường cao BB’ của tam giác ABC.

Đường tròn (O; OA) đi qua A, B, C, D.

Câu 3/20

Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA
a) Chứng minh rằng AMNC là một tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng MNPQ là một tứ giác nội tiếp.

Lời giải

Vậy tứ giác AMNC nội tiếp được một đường tròn.

b) Vì OM, ON, OP, OQ theo thứ tự là đường trung tuyến của các tam giác vuông $∆ AOB, ∆ OBC, ∆ OCD, ∆ ODA$ nên

<=> MNPQ nội tiếp đường tròn (O; $\frac{a}{2}$ )

Câu 4/20

Tứ giác ABCD có $\hat{ABC} + \hat{ADC} = 180^{0}$ . Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm.

Lời giải

Tứ giác ABCD có tổng hai góc đối $\hat{ABC} + \hat{ADC} = 180^{0}$ nên nó là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O.

Đường tròn (O) cũng là đường tròn ngoại tiếp nên O là giao điểm các đường trung trực của AB và AC.

Tương tự, (O) là đường tròn ngoại tiếp $∆ BCD$ nên O nằm trên đường trung trực của BD.

Vậy các trung trực của AB, BD, AC cùng đi qua điểm O.

Câu 5/20

Tìm điều kiện để hình thang ABCD (AB // CD) nội tiếp được

Lời giải

Câu 6/20

Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm M, biết $\hat{DAB} = 180^{0}, \hat{DAM} = 30^{0},$ $\hat{BMC} = 30^{0}$ . Hãy tính số đo các góc $\hat{MAB}, \hat{BCM}, \hat{AMB}$ , $\hat{DMC}, \hat{AMD}, \hat{MCD}, \hat{BCD}$ .

Lời giải

Câu 7/20

Cho nửa đường tròn đường kính AB và một dây CD. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với CD, cắt AB tại I. các tiếp tuyến tại A và B của nửa đường tròn cắt đường thẳng CD theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác AECI và BFCI nội tiếp được.
b) $∆ IEF ~ ∆ CAB$ từ đó suy ra $∆ IEF$ vuông.

Lời giải

Câu 8/20

Cho $∆ ABC$ , các đường phân giác của các góc trong $\hat{B}, \hat{C}$ gặp nhau tại S, các đường phân giác của các góc ngoài $\hat{B}$ và $\hat{C}$ gặp nhau tại E. Chứng minh rằng:
a) BSCE là tứ giác nội tiếp.
b) Ba điểm A, S, E thẳng hàng.
c) Trung điểm M của SE thuộc đường tròn ngoại tiếp $∆ ABC$

Lời giải

a) Ta có:

- Vì BS, BE là các tia phân giác của hai góc kề bù nên $BS ⊥ BE$

- Vì CS, CE là các tia phân giác của hai góc kề bù nên $CS ⊥ CE$

Do đó, tứ giác BSCE nội tiếp (cụ thể nội tiếp đường tròn đường kính SE)

b) Vì AS và AE đều là tia phâ giác của góc $\hat{BAC}$ nên A, S, E thẳng hàng.

c) Vì M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BSCE nên

Do đó tứ giác ABMC nội tiếp.

Vậy điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Câu 9/20