Cho ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng (B nằm giữa A và C). Gọi (O) là một đường tròn thay đổi luôn đi qua B và C (tâm O không thuộc đường thẳng BC). Từ A kẻ các tiếp tuyến AD, AE đến đường tròn (O) (D, E là các tiếp điểm và D, O nằm cùng trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC). Gọi K, H lần lượt là trung điểm của BC và DE.
a) Chứng minh ${AE}^{2} = AB . AC$
b) Trên DE lấy điểm M sao cho BM song song với AD. Chứng minh tứ giác BMKE nội tiếp đường tròn và MK song song với DC.
c) Chứng minh rằng khi đường tròn (O) thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OHK thuộc một đường thẳng cố định.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập ôn tập chương 3 hình học 9 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

b) Dễ thấy, năm điểm O, A, D, E, K nằm trên đường tròn đường kính OA.

Vậy tứ giác BMKE là tứ giác nội tiếp.

c) Gọi F là giao điểm của DE và AC. Khi đó tứ giác OHFK nội tiếp đường tròn đường kính OF

Suy ra,

$AF . AK = AH . AO =$ ${AE}^{2} = AB . AC$

Hay $AF = \frac{AB . AC}{AK}$ , do đó F là điểm cố định. Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OHK chạy trên đường trung trực của đoạn thẳng FK.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B, C là hai tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ADE của đường tròn (O) (D, E thuộc đường tròn (O); D nằm giữa A và E, tia AD nằm giữa hai tia AB, AO).
a) Chứng minh rằng A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm của đường tròn này.
b) Chứng minh rằng ${AB}^{2} = AD . AE$
c) Gọi H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng $∆ ADH ~ ∆ AEO$ và tứ giác DEOH nội tiếp.
d) Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M, N (M nằm giữa A và O). Chứng minh rằng $\frac{EH}{AN} = \frac{MH}{AD}$

Xem đáp án

Lời giải

Câu 2

Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ $\overset{⏜}{AB}$ và cung nhỏ $\overset{⏜}{BC}$ . Hai dây AN và CM cắt nhau tại I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K.
a) Chứng minh các điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh ${NB}^{2} = NK . MN$
c) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.
d) Gọi PQ lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O). Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có M là điểm chính giữa cung AB

$\Rightarrow AM = BM \Rightarrow \hat{MNA} = \hat{MCB}$ $\Rightarrow \hat{KNI} = \hat{ICK}$

Tứ giác CNKI có C và N là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh KI dưới hai góc bằng nhau nên CNKI nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp).

Do dó bốn điểm C, N, I, K cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có N là điểm chính giữa cung BC

nên BK // HI (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHIK là hình bình hành.

Mặt khác, AN, CM lần lượt là các tia phân giác của các góc A và C trong tam giác ABC nên I là giao điểm ba đường phân giác, do đó BI là tia phân giác góc B.

Vậy tứ giác BHIK là hình thoi

Do vậy D, Q, C thẳng hàng nên KQ // PK.

Chứng minh tương tự ta có D, P, B thẳng hàng và DQ // PK.

Do đó tứ giác PDQK là hình bình hành nên E là trung điểm của PQ cũng là trung điểm của DK. Vậy D, E, K thẳng hàng.

Câu 3