Tìm hệ số của $x^8$ trong khai triển đa thức ${\left[1+x^2\left(1-x\right)\right]}^8$

Đáp án cần chọn là: D

Gọi số tự nhiên thỏa mãn bài toán có dạng $\overline{abcdefg}$ .

Xét trường hợp có cả chữ số 0 đứng đầu.

Số cách chọn vị trí cho chữ số 2 là $C_7^2$

Số cách chọn vị trí cho chữ số 3 là $C_5^3$

Số cách chọn 2 chữ số còn lại trong tập hợp {0;1;4;5;6;7;8;9} để xếp vào hai vị trí cuối là $A_8^2$

Do đó có $C_7^2.C_5^3.A_8^2=11760$ số.

Xét trường hợp chữ số 0 đứng đầu.

a=0 nên có 1 cách chọn.

Số cách chọn vị trí cho chữ số 2 là $C_6^2$

Số cách chọn vị trí cho chữ số 3 là $C_4^3$

Số cách chọn chữ số cuối trong tập hợp {1;4;5;6;7;8;9} là 7 cách.

Do đó có $1.C_6^2.C_4^3.7=420$ số.

Vậy có 11760−420=11340 số.

Chọn C.

Gọi số cần tìm của tập S có dạng $\overline{abc}$. Trong đó $\left\{\begin{array}{l}a,b,c \in A\\ a\ne 0\\ a\ne b; b\ne c; c\ne a\end{array}\right.$.

Khi đó

• Số cách chọn chữ số a có 5 cách chọn vì $a\ne 0$.
• Số cách chọn chữ số b có  5 cách chọn vì $b\ne a$.
• Số cách chọn chữ số c có 4 cách chọn vì  $c\ne a$ và $c\ne b$.

Do đó tập S có 5.5.4 = 100 phần tử.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên  số từ tập $S$.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $\left|\Omega \right|=C_{100}^1=100$.

Gọi X là biến cố Số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu .

Khi đó ta có các bộ số là $\overline{1b2}$ hoặc $\overline{2b4}$ thỏa mãn biến cố X và cứ mỗi bộ thì b có  4 cách chọn nên có tất cả 8 số thỏa yêu cầu.

Suy ra số phần tử của biến cố X là $\left|{\Omega }_X\right|=8$.

Vậy xác suất cần tính $P\left(X\right)=\frac{\left|{\Omega }_X\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{8}{100}=\frac{2}{25}$.