Đáp án cần chọn là: A

Ta tìm các số phức z thỏa mãn $z^{3} = 1$ ta có:

$z^{3} = 1 \Leftrightarrow z^{3} - 1 = 0 \leftrightarrow (z - 1) (z^{2} + z + 1) = 0 \Leftrightarrow \begin{array}{rcl} z & = & 1 \\ z^{2} + z + 1 & = & 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{rcl} z_{1} & = & 1 \\ z_{2} & = & - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \\ z_{3} & = & - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \end{array}$

Xét kai triển

${(1 + x)}^{2019} = \sum_{k = 0}^{2019} C_{2019}^{k} x^{k} = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{1} x + C_{2019}^{2} x^{2} + . . . + C_{2019}^{2019} x^{2019}$ (*)

Thay $z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ vào khai triển (*) ta được

${(1 - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2019} = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{1} z_{2} + C_{2019}^{2} . {z_{2}}^{2} + . . . + C_{2019}^{2019} {z_{2}}^{2019} \Leftrightarrow {(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2019} = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{1} z_{2} + C_{2019}^{2} {z_{2}}^{2} + C_{2019}^{3} + . . . + C_{2019}^{2019} \Leftrightarrow - 1 = (C_{2019}^{0} + C_{2019}^{3} + C_{2019}^{6} + . . . + C_{2019}^{2019}) + z_{2} (C_{2019}^{1} + C_{2019}^{4} + . . . + C_{2019}^{2017}) + {z_{2}}^{2} (C_{2019}^{2} + C_{2019}^{5} + . . . + C_{2019}^{2018}) (1)$

Tương tự thay $z_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ vào khai triển (*) ta được:

${(- 1 - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2019} = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{1} z_{3} + C_{2019}^{2} . {z_{3}}^{2} + . . . + C_{2019}^{2019} {z_{3}}^{2019} \Leftrightarrow {(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2019} = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{1} z_{3} + C_{2019}^{2} {z_{3}}^{2} + C_{2019}^{3} + . . . + C_{2019}^{2019} \Leftrightarrow - 1 = (C_{2019}^{0} + C_{2019}^{3} + C_{2019}^{6} + . . . + C_{2019}^{2019}) + z_{3} (C_{2019}^{1} + C_{2019}^{4} + . . . + C_{2019}^{2017}) + {z_{3}}^{2} (C_{2019}^{2} + C_{2019}^{5} + . . . + C_{2019}^{2018}) (2)$

Thay $z = 1$ vào khai triển (*) ta được:

$2^{2019} = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{1} + C_{2019}^{2} + . . . + C_{2019}^{2019} \Leftrightarrow 2^{2019} = (C_{2019}^{0} + C_{2019}^{3} + C_{2019}^{6} + . . . + C_{2019}^{2019}) + (C_{2019}^{1} + C_{2019}^{4} + C_{2019}^{7} + . . . + C_{2019}^{2017}) + (C_{2019}^{2} + C_{2019}^{5} + C_{2019}^{8} + . . . + C_{2019}^{2018}) (3)$

Cộng vế với vế của (1); (2); (3) ta được:

$2^{2019} - 2 = 3 (C_{2019}^{0} + C_{2019}^{3} + . . . + C_{2019}^{2019}) + (1 + z_{2} + z_{3}) (C_{2019}^{1} + C_{2019}^{4} + . . . + C_{2019}^{2018}) + (1 + {z_{2}}^{2} + {z_{3}}^{2}) (C_{2019}^{2} + C_{2019}^{5} + . . . + C_{2019}^{2017})$

Nhận thấy $1 + z_{2} + z_{3} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i = 0$ và $1 + {z_{2}}^{2} + {z_{3}}^{2} = 1 + {(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2} + {(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2} = 0$

Nên $2^{2019} - 2 = 3 S \Leftrightarrow S = \frac{2^{2019} - 2}{3}$ .

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết rằng $2 w + i$ và $3 w - 5$ là hai nghiệm của phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ . Tìm phần thực của số phức w.

Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết rằng $w + i$ và $2 w - 1$ là hai nghiệm của phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ . Tính tổng $S = a + b$ .

Có bao nhiêu giá trị nguyên của hàm số m để phương trình $z^{2} - 2 m z + 6 m - 5 = 0$ có hai nghiệm phức phân biệt $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1}| = |z_{2}|$ ?

Cho $z = 2 + 3 i$ là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc 2 với hệ số thực nhận $z$ và $\bar{z}$ làm nghiệm.

Tổng $S = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{3} + C_{2019}^{6} + . . . + C_{2019}^{2019}$ bằng:

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $z^{2} + 2 m z + 3 m + 4 = 0$ có hai nghiệm không phải là số thực?