Tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức $Q\left(x\right)=(3m–1)x^3-(2n–5)x^2–nx–9m-72$ đồng thời chia hết cho x − 2 và x + 3

Đáp án D

Ta sử dụng: Đa thức Q(x) chi hết cho đa thức (x – a) khi và chỉ khi Q(a) = 0

Áp dụng mệnh đề trên với a = 2, rồi với a = −3, ta có:

$Q\left(2\right)=(3m–1).2^3-(2n–5).2^2–n.2–9m–72$

= 24m – 8 – 8n + 20 – 2n – 9m – 72 = 15m – 10n – 60

$Q(-3)=(3m–1).{(-3)}^3-(2n–5).{(-3)}^2–n.(-3)–9m–72$

= −81m + 27 – 18n + 45 + 3n – 9m – 72 = −90m – 15n

Theo giả thiết, Q(x) chia hết cho x − 2 nên Q(2) = 0 tức là 15m – 10n – 60 = 0   (1)

Tương tự, vì Q(x) chia hết cho x + 3 nên Q(−3) = 0 tức là −90m – 15n  = 0   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}15m-10n-60=0\\ -90m-15n=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}n=-6m\\ 15m-10\left(-6m\right)=60\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=\frac{4}{5}\\ n=-\frac{24}{5}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Trả lời: Vậy $m=\frac{4}{5};n=-\frac{24}{5}$