Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng a tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng $ABCD$ bằng ${60}^0$. Tính cosin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng $\left(SBD\right)$.

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 50$\mathrm{\pi }$ và độ dài đường sinh bằng đường kính của đường tròn đáy. Tính bán kính r của đường tròn đáy.

Xét khối tứ diện $ABCD$ có cạnh $AB=x$ và các cạnh còn lại đều bằng $2\sqrt{3}$. Tìm $x$ để thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất

Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A, AB=a và $\stackrel{⏜}{ACB}={30}^0$. Tính thể tích V của khối nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC.

Cho hình nón (N) có đường sinh tạo với đáy một góc ${60}^0$. Mặt phẳng qua trục của (N) cắt (N) được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Tính thể tích V của khối nón giới hạn bởi (N).

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=a$, $AD=a\sqrt{3}$, $SA$vuông góc với đáy và mặt phẳng $\left(SBC\right)$ tạo với đáy một góc ${60}^0$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$

Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông tại C, AB vuông góc với mặt phẳng   (BCD),
AB = 5a,  BC = 3a và CD = 4a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .