Lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của $A^{\text{'}}$ lên (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Mặt phẳng (P) qua BC và vuông góc $A{A}^{\text{'}}$ cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích bằng $\frac{a\sqrt[2]{3}}{8}$ Thể tích lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ bằng

Thể tích hình hộp chữ nhật đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu nếu biết diện tích toàn phần của hình hộp đã cho là S?

Cho khối chóp S.ABCD, hỏi hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) chia khối chóp S.ABCD thành mấy khối chóp?

Tổng các góc của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại $\left\{5;3\right\}$

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và AB. Lấy $I\in AC, J\in DN$ sao cho IJ // BM. Độ dài IJ theo a là:

Một hình thang vuông ABCD có đường cao $AD=\mathrm{\pi }$ đáy nhỏ $AB=\mathrm{\pi }$ đáy lớn $CD=2\mathrm{\pi }$ Cho hình thang đó quay quanh CD, ta được vật tròn xoay có thể tích bằng:

Người ta cần chế tạo một ly dạng hình cầu tâm O, đường kính 2R. Trong hình cầu có một hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu. Nước chỉ chứa được trong hình trụ. Hãy tìm bán kính đáy r của hình trụ để ly chứa được nhiều nước nhất

Cho khối chóp S.ABCD trong đó ABCD là hình thang có các cạnh đáy AB, CD sao cho CD = 4AB Một mặt phẳng qua CD cắt SA, SB tại các điểm tương ứng M, N. Nếu điểm M nằm trên SA sao cho thiết diện MNCD chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích $V_{S.MNCD}:V_{MNCDA}$ tỉ lệ 1:2. Khi đó tỉ số $\frac{SM}{SA}$ bằng