Một hình nón được cắt bởi một mặt phẳng (P) song song với đáy. Mặt phẳng này chia với mặt xung quanh của hình nón thành hai phần có diện tích bằng nhau như hình vẽ. Gọi (N₁) là hình nón có đỉnh A, bán kính đáy HM; (N₂) là hình nón có đỉnh A, bán kính đáy OD. Tỉ số thể tích của khối nón (N₁) và khối nón (N₂) là

Đáp án B

Phương trình hoành độ giao điểm $x^3-3m{x}^2+4mx+m-2=0\left(*\right)$  

Giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3$ lập thành cấp số nhân $\Rightarrow x_2^2=x_1.x_3$

Theo Vi-et ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}\\ x_1.x_2+x_1.x_3+x_2.x_3=\frac{c}{a}\\ x_1.x_2.x_3=-\frac{d}{a}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1.x_2.x_3=2-m\\ x_2^2=x_1.x_3\end{array}\right.\Rightarrow m=2-x_2^3$

Thay tất cả vào phương trình (*) ta có $x_2\left(3x_2-4\right)\left(x_2^3-2\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}{x}_2=0\Rightarrow m=2\\ x_2=\frac{4}{3}\Rightarrow n=-\frac{10}{27}\\ x_2=\sqrt[3]{2}\Rightarrow m=0\end{array}\right.$

Thử lại, chỉ có $m=2$  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án D

Gọi M, N là trung điểm của AB, AC và trọng tâm của DABC.

Ta có  $B^{\text{'}}G\perp \left(ABC\right)\Rightarrow \widehat{\left(B{B}^{\text{'}},\left(ABC\right)\right)}=\widehat{B^{\text{'}}BG}={60}^o.$

$V_{A^{\text{'}}.ABC}=\frac{1}{3}.S_{\Delta ABC}.B^{\text{'}}G=\frac{1}{6}AC.BC.B^{\text{'}}G$

Xét DB'BG vuông tại G, có $\widehat{B^{\text{'}}BG}={60}^o\Rightarrow B^{\text{'}}G=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Đặt $AB=2x.$  Trong DABC vuông tại C có $\widehat{BAC}={60}^o.$

$\Rightarrow AC=\frac{AB}{2}=x,BC=x\sqrt{3}$

Do G là trọng tâm $\Delta ABC\Rightarrow BN=\frac{3}{2}BG=\frac{3a}{4}.$

Trong DBNC vuông tại C, ta có $B{N}^2=N{C}^2+B{C}^2$

$\iff \frac{9a^2}{16}=\frac{x^2}{4}+3x^2\iff x^2=\frac{9a^2}{52}\Rightarrow x=\frac{3a}{2\sqrt{13}}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AC=\frac{3a}{2\sqrt{13}}\\ BC=\frac{3a\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}\end{array}\right.$

Vậy $V_{A^{\text{'}}ABC}=\frac{1}{6}.\frac{3a}{2\sqrt{13}}.\frac{3a\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{9a^3}{208}.$