Cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4z+1=0$  và đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=t\\ z=m+t\end{array}\right..$  Tổng các giá trị của m để d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau

Đáp án B

Phương trình hoành độ giao điểm $x^3-3m{x}^2+4mx+m-2=0\left(*\right)$  

Giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3$ lập thành cấp số nhân $\Rightarrow x_2^2=x_1.x_3$

Theo Vi-et ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}\\ x_1.x_2+x_1.x_3+x_2.x_3=\frac{c}{a}\\ x_1.x_2.x_3=-\frac{d}{a}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1.x_2.x_3=2-m\\ x_2^2=x_1.x_3\end{array}\right.\Rightarrow m=2-x_2^3$

Thay tất cả vào phương trình (*) ta có $x_2\left(3x_2-4\right)\left(x_2^3-2\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}{x}_2=0\Rightarrow m=2\\ x_2=\frac{4}{3}\Rightarrow n=-\frac{10}{27}\\ x_2=\sqrt[3]{2}\Rightarrow m=0\end{array}\right.$

Thử lại, chỉ có $m=2$  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án D

Gọi M, N là trung điểm của AB, AC và trọng tâm của DABC.

Ta có  $B^{\text{'}}G\perp \left(ABC\right)\Rightarrow \widehat{\left(B{B}^{\text{'}},\left(ABC\right)\right)}=\widehat{B^{\text{'}}BG}={60}^o.$

$V_{A^{\text{'}}.ABC}=\frac{1}{3}.S_{\Delta ABC}.B^{\text{'}}G=\frac{1}{6}AC.BC.B^{\text{'}}G$

Xét DB'BG vuông tại G, có $\widehat{B^{\text{'}}BG}={60}^o\Rightarrow B^{\text{'}}G=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Đặt $AB=2x.$  Trong DABC vuông tại C có $\widehat{BAC}={60}^o.$

$\Rightarrow AC=\frac{AB}{2}=x,BC=x\sqrt{3}$

Do G là trọng tâm $\Delta ABC\Rightarrow BN=\frac{3}{2}BG=\frac{3a}{4}.$

Trong DBNC vuông tại C, ta có $B{N}^2=N{C}^2+B{C}^2$

$\iff \frac{9a^2}{16}=\frac{x^2}{4}+3x^2\iff x^2=\frac{9a^2}{52}\Rightarrow x=\frac{3a}{2\sqrt{13}}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AC=\frac{3a}{2\sqrt{13}}\\ BC=\frac{3a\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}\end{array}\right.$

Vậy $V_{A^{\text{'}}ABC}=\frac{1}{6}.\frac{3a}{2\sqrt{13}}.\frac{3a\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{9a^3}{208}.$