Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$ ;

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$ .

Giả sử vận tốc của máy bay theo hướng đông sang tây là $\overrightarrow{v_1}$ , vận tốc của luồng gió theo hướng đông bắc sang tây nam là $\overrightarrow{v_2}$  và vận tốc mới của máy bay chính là $\overrightarrow{v}$  thỏa mãn $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$ .  Ta cần tính độ dài vectơ $\overrightarrow{v}$ .

Theo bài ra ta có: $\left|\overrightarrow{v_1}\right|=700$ km/h, $\left|\overrightarrow{v_2}\right|=40$  km/h, $\left(\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\right)=45°$.

Biểu diễn bài toán như hình vẽ dưới đây:

 a) Ta có:  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

 $=AB.AC.cos\widehat{BAC}$= 2 . 3 . cos60° = 3.

b) + Do M là trung điểm của BC nên với điểm A ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

Do đó: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

+ Ta có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\left(-\overrightarrow{AB}\right)+\overrightarrow{AD}$

Mà $\overrightarrow{AD}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$

Nên $\overrightarrow{BD}=\left(-\overrightarrow{AB}\right)+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$$=-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.

Vậy $\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.

c) Ta có: $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right).\left(-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}\right)$

$=\frac{-1}{2}{\overrightarrow{AB}}^2+\frac{7}{24}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+\frac{7}{24}{\overrightarrow{AC}}^2$

$=\frac{-1}{2}.A{B}^2+\frac{7}{24}.\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\frac{7}{24}.A{C}^2$

 $=\frac{-1}{2}{.2}^2+\frac{7}{24}.3-\frac{1}{2}.3+\frac{7}{24}{.3}^2$= 0

Suy ra: $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=0$ .

Vậy AM ⊥ BD.