Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 700 km/h thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ 40 km/h (Hình 68). Máy bay bị thay đổi vận tốc sau khi gặp gió thổi. Tìm tốc độ mới của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị km/h).

 a) Ta có:  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

 $=AB.AC.cos\widehat{BAC}$= 2 . 3 . cos60° = 3.

b) + Do M là trung điểm của BC nên với điểm A ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

Do đó: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

+ Ta có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\left(-\overrightarrow{AB}\right)+\overrightarrow{AD}$

Mà $\overrightarrow{AD}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$

Nên $\overrightarrow{BD}=\left(-\overrightarrow{AB}\right)+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$$=-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.

Vậy $\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.

c) Ta có: $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right).\left(-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}\right)$

$=\frac{-1}{2}{\overrightarrow{AB}}^2+\frac{7}{24}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+\frac{7}{24}{\overrightarrow{AC}}^2$

$=\frac{-1}{2}.A{B}^2+\frac{7}{24}.\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\frac{7}{24}.A{C}^2$

 $=\frac{-1}{2}{.2}^2+\frac{7}{24}.3-\frac{1}{2}.3+\frac{7}{24}{.3}^2$= 0

Suy ra: $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=0$ .

Vậy AM ⊥ BD.

Tam giác ABC nhọn nên H thuộc cạnh BC.

a) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ CB.

Do đó: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{CB}=0$

Ta có:  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$

         $=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AC}$ (tính chất giao hoán)

$=\overrightarrow{AH}.\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)$

$=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{CB}=0$

Do đó: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}=0$$\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$

 $=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{HB}$ (tính chất giao hoán)

$=\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{HB}\right)$

$=\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AB}-\left(-\overrightarrow{BH}\right)\right)$

$=\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BH}\right)$

$=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AH}=0$.

Suy ra: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}=0$$\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$.