Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, AD = 6, BAD^=60° (Hình 73). a) Biểu thị các vectơ BD→, AC→ theo AB→, AD→. b) Tính các tích vô hướng AB→ . AD→, AB→ . AC→, BD→ . AC→ . c) Tính độ dài các đường chéo...

a) Ta có: BD→=BA→+AD→=−AB→+AD→. Do ABCD là hình bình hành nên AC→=AB→+AD→. b) Ta có: AB→.AD→=AB→.AD→.cosAB→,AD→ =AB .AD.cosBAD^= 4 . 6 . cos60° = 12. Do đó: AB→.AD→=12 Ta cũng có: AB→.AC→=AB→. AB→+AD→ =AB→2+AB→.AD→= AB2 + 12 = 42 + 12 = 28. Do đó: AB→.AC→=28 Lại có: BD→.AC→=−AB→+AD→.AB→+AD→ =AD→−AB→.AD→+AB→=AD→2−AB→2 = AD2 – AB2 = 62 – 42 = 20. Vậy BD→.AC→=20 c) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABD có: BD2 = AB2 + AD2 – 2 . AB . AD . cosA = 42 + 62 – 2 . 4 . 6 . cos 60° = 28 ⇒BD=28=27 Ta có: AC→=AB→+AD→⇒AC→2=AB→+AD→2 ⇔AC→2=AB→2+2.AB→.AD→+AD→2 ⇔AC2=AB2+2AB→.AD→+AD2 Suy ra: AC2 = 42 + 2 . 12 + 62 = 76 ⇒AC=76=219.

Câu hỏi:

13/07/2024 11,863

Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, AD = 6, $\hat{B A D} = 60 °$ (Hình 73).

a) Biểu thị các vectơ $\vec{B D}, \vec{A C}$ theo $\vec{A B}, \vec{A D}$ .

b) Tính các tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{A D}, \vec{A B} . \vec{A C}, \vec{B D} . \vec{A C}$ .

c) Tính độ dài các đường chéo BD, AC.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập cuối chương IV có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Ta có: $\vec{B D} = \vec{B A} + \vec{A D} = - \vec{A B} + \vec{A D}$ .

Do ABCD là hình bình hành nên $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ .

b) Ta có: $\vec{A B} . \vec{A D} = |\vec{A B}| . |\vec{A D}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A D})$

$= A B . A D . \cos \hat{B A D}$ = 4 . 6 . cos60° = 12.

Do đó: $\vec{A B} . \vec{A D} = 12$

Ta cũng có: $\vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A B} . (\vec{A B} + \vec{A D})$

$= {\vec{A B}}^{2} + \vec{A B} . \vec{A D}$ = AB² + 12 = 4² + 12 = 28.

Do đó: $\vec{A B} . \vec{A C} = 28$

Lại có: $\vec{B D} . \vec{A C} = (- \vec{A B} + \vec{A D}) . (\vec{A B} + \vec{A D})$

$= (\vec{A D} - \vec{A B}) . (\vec{A D} + \vec{A B})$ $= {\vec{A D}}^{2} - {\vec{A B}}^{2}$

= AD² – AB² = 6² – 4² = 20.

Vậy $\vec{B D} . \vec{A C} = 20$

c) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABD có:

BD² = AB² + AD² – 2 . AB . AD . cosA

= 4² + 6² – 2 . 4 . 6 . cos 60° = 28

$\Rightarrow B D = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$

Ta có: $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ $\Rightarrow {(\vec{A C})}^{2} = {(\vec{A B} + \vec{A D})}^{2}$

$\Leftrightarrow {\vec{A C}}^{2} = {\vec{A B}}^{2} + 2. \vec{A B} . \vec{A D} + {\vec{A D}}^{2}$

$\Leftrightarrow A C^{2} = A B^{2} + 2 \vec{A B} . \vec{A D} + A D^{2}$

Suy ra: AC² = 4² + 2 . 12 + 6² = 76

$\Rightarrow A C = \sqrt{76} = 2 \sqrt{19}$ .

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Dành cho bạn Hot

Lớp 10 Toán

126 người thi tuần này

Bài tập Xác định vectơ. Tìm điểm đầu, điểm cuối, giá của vectơ lớp 10 (có lời giải)

10 câu 1.8 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Vật lý

460 người thi tuần này

Bài tập Xác định sai số của phép đo trực tiếp lớp 10 (có lời giải)

12 câu 3.4 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Hóa học

204 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Hóa học 10 năm 2025-2026 THPT Nguyễn Trãi (Đà Nẵng) có đáp án

21 câu 1 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Tiếng Anh

528 người thi tuần này

Trắc nghiệm Tiếng Anh 10 Global Success Unit 3 Vocabulary and Grammar (có đáp án)

20 câu 3 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Sinh học

143 người thi tuần này

10 câu Trắc nghiệm Sinh học 10 Kết nối tri thức Bài 7 có đáp án

10 câu 3.6 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Lịch sử

391 người thi tuần này

31 câu Trắc nghiệm Lịch sử 10 Bài 3 có đúng sai, trả lời ngắn (mới nhất)

31 câu 5.3 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Địa lý

29 người thi tuần này

Trắc nghiệm Địa Lí 10 Bài 8 (có đáp án): Tác động của nội lực đến địa hình bề mặt Trái Đất

13 câu 10.5 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

396 người thi tuần này

15 câu Trắc nghiệm Giáo dục quốc phòng và an ninh 10 Kết nối tri thức Bài 1 có đáp án

15 câu 6.4 K lượt thi Thi ngay →

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, $\hat{B A C} = 120 °$ . Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp;

c) Diện tích của tam giác;

d) Độ dài đường cao xuất phát từ A;

e) $\vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A M} . \vec{B C}$ với M là trung điểm của BC.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, góc BAC = 120 độ . Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) (ảnh 1)

a) + Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2 . AB . AC . cos $\hat{B A C}$

= 3² + 4² – 2 . 3. 4 . cos 120°

= 9 + 16 – (– 12)

= 37

Suy ra: $B C = \sqrt{37} \approx 6$ .

+ Ta có: $\cos B = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2. A B . B C}$ $= \frac{3^{2} + 6^{2} - 4^{2}}{2.3.6} = \frac{29}{36}$

Suy ra $\hat{B} \approx 36 °$ .

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{B C}{\sin A} = 2 R$

Suy ra: $R = \frac{B C}{2 \sin A} = \frac{6}{2. \sin 120 °} = 2 \sqrt{3} \approx 3$ .

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R ≈ 3.

c) Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} A B . A C . \sin A$ $= \frac{1}{2} .3.4. \sin 120 ° = 3 \sqrt{3} \approx 5$ .

d) Kẻ đường cao AH.

Ta có diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} A H . B C$

Suy ra: $A H = \frac{2 S}{B C} = \frac{2.5}{6} \approx 2$ .

+ Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = |\vec{A B}| . |\vec{A C}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$

$= A B . A C . \cos \hat{B A C}$

= 3 . 4 . cos 120° = – 6.

Do đó: $\vec{A B} . \vec{A C} = - 6$ .

+ Do M là trung điểm của BC nên ta có: $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$ .

Suy ra: $\vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$ .

Khi đó: $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . \vec{B C}$

$= \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . (\vec{B A} + \vec{A C})$

$= \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . ((- \vec{A B}) + \vec{A C})$

$= \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{A B}) . (\vec{A C} - \vec{A B})$

$= \frac{1}{2} ({\vec{A C}}^{2} - {\vec{A B}}^{2})$

$= \frac{1}{2} (A C - A B) = \frac{1}{2} (4 - 3) = \frac{1}{2}$

Vậy $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{1}{2}$ .

Câu 2

Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

A = (sin 20° + sin 70°)² + (cos 20° + cos 110°)²,

B = tan 20° + cot 20° + tan 110° + cot 110°.

Xem đáp án

Lời giải

+ Ta có:

A = (sin 20° + sin 70°)² + (cos 20° + cos 110°)²

= [sin(90° – 70°) + sin 70°]² + [cos(90° – 70°) + cos(180° – 70°)]²

= (cos70° + sin 70°)² + [sin 70° + (– cos 70°)]²

= (cos 70° + sin 70°)² + (sin 70° – cos 70°)²

= cos²70° + 2 . cos 70° . sin 70° + sin² 70° + sin² 70° – 2 . sin 70° . cos 70° + cos² 70°

= 2(cos² 70° + sin² 70°)

= 2 . 1 = 2

Vậy A = 2.

+ Ta có:

B = tan 20° + cot 20° + tan 110° + cot 110°

= tan (90° – 70°) + cot(90° – 70°) + tan (180° – 70°) + cot (180° – 70°)

= cot 70° + tan 70° + (– tan 70°) + (– cot 70°)

= (cot 70° – cot 70°) + (tan 70° – tan 70°)

= 0 + 0 = 0

Vậy B = 0.

Câu 3

Hai lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ cho trước cùng tác dụng lên một vật tại điểm O và tạo với nhau một góc $(\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}) = α$ làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C (Hình 74). Lập công thức tính cường độ của hợp lực $\vec{F}$ làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C (giả sử chỉ có đúng hai lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ làm cho vật di chuyển).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Không dùng thước đo góc, làm thế nào để biết số đo góc đó.

Bạn Hoài vẽ góc xOy và đố bạn Đông làm thế nào để có thể biết được số đo góc của góc này khi không có thước đo góc. Bạn Đông làm như sau:

- Chọn các điểm A, B lần lượt thuộc các tia Ox và Oy sao cho OA = OB = 2 cm;

- Đo độ dài đoạn thẳng AB được AB = 3,1 cm.

Từ các dữ kiện trên bạn Đông tính được cos $\hat{x O y}$ , từ đó suy ra độ lớn góc xOy.

Em hãy cho biết số đo góc xOy ở Hình 69 bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Để đo khoảng cách giữa hai vị trí M, N ở hai phía ốc đảo, người ta chọn vị trí O bên ngoài ốc đảo sao cho: O không thuộc đường thẳng MN; các khoảng cách OM, ON và góc MON là đo được (Hình 72). Sau khi đo, ta có OM = 200 m, ON = 500 m, $\hat{M O N} = 135 °$ .

Khoảng cách giữa hai vị trí M, N là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Có hai trạm quan sát A và B ven hồ và một trạm quan sát C ở giữa hồ. Để tính khoảng cách từ A và từ B đến C, người ta làm như sau (Hình 70):

- Đo góc BAC được 60°, đo góc ABC được 45°;

- Đo khoảng cách AB được 1 200 m.

Khoảng cách từ trạm C đến các trạm A và B bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

A = (sin 20° + sin 70°)² + (cos 20° + cos 110°)²,

B = tan 20° + cot 20° + tan 110° + cot 110°.