Câu hỏi:

13/06/2022 703

Để tham gia một cuộc thi làm bánh, bạn Tiến làm 12 chiếc bánh có màu khác nhau và chọn ra số nguyên dương chẵn chiếc bánh để cho vào một hộp trưng bày. Hỏi bạn Tiến có bao nhiêu cách để chọn bánh cho vào hộp trưng bày đó?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Chuyên đề Nhị thức Newton có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Số bánh bạn Tiến có thể chọn để cho vào hộp có thể là 2, 4, 6, 8, 10 hoặc 12.

Như vậy tổng số cách chọn là: $C_{12}^{2} + C_{12}^{4} + ... + C_{12}^{12} .$

Lại có $C_{12}^{0} + C_{12}^{2} + C_{12}^{4} + ... + C_{12}^{12} = 2^{2 . 6 - 1} = 2^{11} = 2048$ (áp dụng câu c Ví dụ 3 với n = 6).

$\Rightarrow C_{12}^{2} + C_{12}^{4} + ... + C_{12}^{12} = 2^{2 . 6 - 1} = 2048 - C_{12}^{0} = 2048 - 1 = 2047$

Vậy có 2047 cách.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Khai triển các biểu thức sau:

a) (2x + y)⁶;

b) (x – 3y)⁶;

c) (x – 1)ⁿ;

d) (x + 2)ⁿ;

e) (x + y)²ⁿ;

g) (x – y)²ⁿ;

trong đó n lả số nguyên dương.

Xem đáp án

Lời giải

a) (2x + y)⁶

$= C_{6}^{0} {(2 x)}^{6} + C_{6}^{1} {(2 x)}^{5} y + C_{6}^{2} {(2 x)}^{4} y^{2} + C_{6}^{3} {(2 x)}^{3} y^{3} + C_{6}^{2} {(2 x)}^{2} y^{2} + C_{6}^{1} (2 x) y^{5} + C_{6}^{6} y^{6}$

$= 2^{6} x^{6} + C_{6}^{1} 2^{5} x^{5} y + C_{6}^{2} 2^{4} x^{4} y^{2} + C_{6}^{3} 2^{3} x^{3} y^{3} + C_{6}^{4} 2^{2} x^{2} y^{4} + C_{6}^{5} 2 x y^{5} + y^{6} .$

b) (x – 3y)⁶

= [x + (–3y)]⁶

^{$= C_{6}^{0} x^{6} + C_{6}^{1} x^{5} (- 3 y) + C_{6}^{2} x^{4} {(- 3 y)}^{2} + C_{6}^{3} x^{3} {(- 3 y)}^{3} + C_{6}^{4} x^{2} {(- 3 y)}^{4} + C_{6}^{5} x {(- 3 y)}^{5} + C_{6}^{6} {(- 3 y)}^{6}$}

^{$= x^{6} - C_{6}^{1} 3 x^{5} y + C_{6}^{2} 3^{2} x^{4} y^{2} - C_{6}^{3} 3^{3} x^{3} y^{3} + C_{6}^{4} 3^{4} x^{2} y^{4} - C_{6}^{5} 3^{5} x y^{5} + 3^{6} y^{6} .$}

c) (x – 1)ⁿ

= [(x + (–1)]ⁿ

$= C_{n}^{0} x^{n} + C_{n}^{1} x^{n - 1} (- 1) + C_{n}^{2} x^{n - 2} {(- 1)}^{2} + ... + C_{n}^{n - 1} x {(- 1)}^{n - 1} + C_{n}^{n} {(- 1)}^{n}$

$= x^{n} + C_{n}^{1} (- 1) x^{n - 1} + C_{n}^{2} {(- 1)}^{2} x^{n - 2} + ... + C_{n}^{n - 1} {(- 1)}^{n - 1} x + {(- 1)}^{n} .$

d) (x + 2)ⁿ

$= C_{n}^{0} x^{n} + C_{n}^{1} x^{n - 1} 2 + C_{n}^{2} x^{n - 2} 2^{2} + ... + C_{n}^{n - 1} x 2^{n - 1} + C_{n}^{n} 2^{n}$

$= x^{n} + C_{n}^{1} 2 x^{n - 1} + C_{n}^{2} 2^{2} x^{n - 2} + ... + C_{n}^{n - 1} 2^{n - 1} x + 2^{n} .$

e) (x + y)²ⁿ

$= C_{2 n}^{0} x^{2 n} + C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} y + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} y^{2} + ... + C_{2 n}^{2 n - 1} x y^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} y^{2 n}$

$= x^{2 n} + C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} y + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} y^{2} + ... + C_{2 n}^{2 n - 1} x y^{2 n - 1} + y^{2 n} .$

g) (x – y)²ⁿ

$= C_{2 n}^{0} x^{2 n} + C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} (- y) + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} {(- y)}^{2} + ... + C_{2 n}^{2 n - 1} x {(- y)}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} {(- y)}^{2 n}$

$= C_{2 n}^{0} x^{2 n} - C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} y + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} y^{2} - ... - C_{2 n}^{2 n - 1} x y^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} y^{2 n}$

$= x^{2 n} - C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} y + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} y^{2} - ... - C_{2 n}^{2 n - 1} x y^{2 n - 1} + y^{2 n} .$

Câu 2

Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:

${(a + b)}^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + ... + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$ với n $\in$ ℕ^*.

Xem đáp án

Lời giải

+) Với n = 1, ta có: (a + b)¹ = a + b =

Vậy công thức đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh công thức cũng đúng với k + 1, tức là:

${(a + b)}^{k + 1} = C_{k + 1}^{0} a^{k + 1} + C_{k + 1}^{1} a^{(k + 1) - 1} b + ... + C_{k + 1}^{(k + 1) - 1} a b^{(k + 1) - 1} + C_{k + 1}^{k + 1} b^{k + 1} .$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${(a + b)}^{k} = C_{k}^{0} a^{k} + C_{k}^{1} a^{k - 1} b + ... + C_{k}^{k - 1} a b^{k - 1} + C_{k}^{k} b^{k} .$

Khi đó:

${(a + b)}^{k + 1} = (a + b) {(a + b)}^{k}$

$= a {(a + b)}^{k} + b {(a + b)}^{k}$

$= a (C_{k}^{0} a^{k} + C_{k}^{1} a^{k - 1} b + ... + C_{k}^{k - 1} a b^{k - 1} + C_{k}^{k} b^{k})$

$+ b (C_{k}^{0} a^{k} + C_{k}^{1} a^{k - 1} b + ... + C_{k}^{k - 1} a b^{k - 1} + C_{k}^{k} b^{k})$

$= (C_{k}^{0} a^{k + 1} + C_{k}^{1} a^{k} b + C_{k}^{2} a^{k - 1} b^{2} + ... + C_{k}^{k - 1} a^{2} b^{k - 1} + C_{k}^{k} a b^{k})$

$+ (C_{k}^{0} a^{k} b + C_{k}^{1} a^{k - 1} b^{2} + ... + C_{k}^{k - 2} a^{2} b^{k - 1} + C_{k}^{k - 1} a b^{k} + C_{k}^{k} b^{k + 1})$

$= C_{k}^{0} a^{k + 1} + (C_{k}^{0} + C_{k}^{1}) a^{k} b + (C_{k}^{1} + C_{k}^{2}) a^{k - 1} b^{2} + ...$

$+ (C_{k}^{k - 2} + C_{k}^{k - 1}) a^{2} b^{k - 1} + (C_{k}^{k - 1} + C_{k}^{k}) a b^{k} + C_{k}^{k} b^{k + 1}$

$= 1. a^{k + 1} + C_{k + 1}^{1} a^{k} b + C_{k + 1}^{2} a^{k - 1} b^{2} + ... + C_{k + 1}^{k - 1} a^{2} b^{k - 1} + C_{k + 1}^{k} a b^{k} + 1. b^{k + 1}$

$(v ì C_{k}^{i} + C_{k}^{i + 1} = C_{k + 1}^{i + 1} \forall 0 \leq i \leq k, i \in ℕ, k \in ℕ *)$

$= C_{k + 1}^{0} a^{k + 1} + C_{k + 1}^{1} a^{(k + 1) - 1} b + ... + C_{k + 1}^{(k + 1) - 1} a b^{(k + 1) - 1} + C_{k + 1}^{k + 1} b^{k + 1} .$

Vậy công thức cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

Câu 3