Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD, BC theo thứ tự lấy các điểm M, N sao cho $\frac{MA}{AD}=\frac{NC}{CB}=\frac{1}{3}$. Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD. Khi đó thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (P) là

Đáp án là B 

Gọi H là trung điểm của AB . Tam giác SAB đều nên suy ra SH ⊥AB  . Theo giả thiết (SAB) vuông góc với ( ABCD) và có giao tuyến AB nên suy ra SH ⊥ (ABCD) tại H . Có AH $\cap$ (SBD) = B nên

Trong ( ABCD) kẻ HI ⊥ BD  tại I , kết hợp SH ⊥ (ABCD) ta suy ra

BD⊥ (SHI) =>  (SHI)  ⊥ (SBD) , mà (SHI ) $\cap$(SBD) = SI nên trong (SHI) nếu ta kẻ HK ⊥ SI  tại K thì HK ⊥ (SBD) tại K , do đó HK = d (H,( SBD)) .

Ta tính được : 

Tam giác SAB đều cạnh 2a nên SH=a$\sqrt{3}$

Tam giác SHI vuông tại H đường cao HK nên 

Vậy khoảng cách từ A đến (SBD) là: $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Đáp án là C

+ Gọi O là giao điểm của AC,BD

 MO \\ SB =>  SB \\ ACM

 d  (SB,ACM)= d (B,ACM) = d (D,ACM) .

+ Gọi I là trung điểm của AD ,

+ Trong ABCD: IK $\perp$ AC  (với K $\in$   AC ).

+ Trong MIK: IH $\perp$ MK  (với H  $\in$MK )  (1) .

+ Ta có: AC $\perp$ MI ,AC $\perp$ IK => AC $\perp$ MIK => AC $\perp$ IH (2).

Từ 1 và 2 suy ra

IH $\perp$ ACM  d(I ,ACM) = IH  .

+ Tính IH ?

- Trong tam giác vuông MIK. 

- Mặt khác

Vậy d(SB,(ACM))=$\frac{2a}{3}$

Lời giải khác

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, trong đó:

A (0;0;0) ,B (a;0;0); D (0; a;0) ;C (a; a;0); S (0;0;2a)

Vì M là trung điểm của  SD $\Rightarrow M\left(0;\frac{a}{2};a\right)$

Gọi O là giao điểm của AC , BD

 MO // SB  => SB//(ACM)

=> d(SB, (ACM))=d(B,(ACM))

Ta có:

là một VTPT của mp ( ACM ).

Vậy phương trình mặt phẳng ( ACM ): 2x-2y+z=0

=> d(SB, (ACM))=d(B,(ACM)) =$\frac{2a}{3}$