Câu hỏi:

13/07/2024 7,864

Cho tam giác OAB và OBC lấn lượt vuông tại A và B như Hình 1. Các cạnh AB và BC bằng nhau và ngắn hơn OB là 1cm. Hãy biểu diễn độ dài OC và OA qua OB, từ đó xác định OB để:

a) OC = 3OA;

b) OC = \(\frac{5}{4}\)OB.

Cho tam giác OAB và OBC lấn lượt vuông tại A và B như Hình 1. Các cạnh AB (ảnh 1)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có OB = x (cm)

Khi đó AB = BC = x – 1 (cm). Do đó x > 1

Xét tam giác OBC vuông tại B, có:

OC2 = OB2 + BC2 (định lí Py – ta – go)

OC2 = x2 + (x – 1)2 = 2x2 – 2x + 1

OC = \(\sqrt {2{x^2} - 2x + 1} \)

Xét tam giác OAB vuông tại A, có:

OB2 = AB2 + OA2 (định lí Py – ta – go)

OA2 = OB2 – AB2

OA2 = x2 – (x – 1)2 = x2 – (x2 – 2x + 1) = 2x – 1

OA = \(\sqrt {2x - 1} \)

a) Vì OC = 3OA nên \(\sqrt {2{x^2} - 2x + 1} \) = 3\(\sqrt {2x - 1} \)

2x2 – 2x + 1 = 9(2x – 1)

2x2 – 2x + 1 = 18x – 9

2x2 – 20x + 10 = 0

x2 – 10x + 5 = 0

x = 5 + 2\(\sqrt 5 \) hoặc x = 5 – 2\(\sqrt 5 \).

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị của x đều là nghiệm của phương trình đã cho. Tuy nhiên x = 5 – 2\(\sqrt 5 \)(không thỏa mãn x > 1)

Vậy với x = 5 + 2\(\sqrt 5 \)(cm) thì OC = 3OA.

b) Vì OC = \(\frac{5}{4}\)OB nên \(\sqrt {2{x^2} - 2x + 1} \) = \(\frac{5}{4}\)x

2x2 – 2x + 1 = \(\frac{{25}}{{16}}\)x2

16(2x2 – 2x + 1) = 25x2

7x2 – 32x + 16 = 0

x = 4 hoặc x = \(\frac{4}{7}\).

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị của x đều là nghiệm của phương trình đã cho. Tuy nhiên x = \(\frac{4}{7}\) (không thỏa mãn x > 1)

Vậy với x = 4 (cm) thì OC = \(\frac{5}{4}\)OB.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Xét tam giác MOB có:

Áp dụng định lí côsin, ta có:

MB2 = OM2 + OB2 – 2.OM.OB.cos\(\widehat {BOM}\)

MB2 = x2 + 22 – 2.x.2.cos60°

MB2 = x2 + 4 – 2x

MB = \(\sqrt {{x^2} - 2x + 4} \) (km).

Ta lại có \(\widehat {AOM} + \widehat {BOM} = 180^\circ \) \(\widehat {AOM} = 180^\circ - \widehat {BOM} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Xét tam giác MOA có:

Áp dụng định lí côsin, ta có:

MA2 = OM2 + OA2 – 2.OM.OA.cos\(\widehat {AOM}\)

MA2 = x2 + 12 – 2.x.1.cos120°

MA2 = x2 + 1 + x

MA = \(\sqrt {{x^2} + x + 1} \) (km).

Vậy MA = \(\sqrt {{x^2} + x + 1} \) km và MB = \(\sqrt {{x^2} - 2x + 4} \) km.

b) Để khoảng cách từ tàu đến B bằng \(\frac{4}{5}\) khoảng cách từ tàu đến A thì \(\sqrt {{x^2} - 2x + 4} = \frac{4}{5}\sqrt {{x^2} + x + 1} \)

x2 – 2x + 4 = \(\frac{{16}}{{25}}\)(x2 + x + 1)

25x2 – 50x + 100 = 16x2 + 16x + 16

9x2 – 66x + 84 = 0

x = \(\frac{{11 - \sqrt {37} }}{3}\) hoặc x = \(\frac{{11 + \sqrt {37} }}{3}\).

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy với x = \(\frac{{11 - \sqrt {37} }}{3}\) hoặc x = \(\frac{{11 + \sqrt {37} }}{3}\) thì khoảng cách từ tàu đến B bằng \(\frac{4}{5}\) khoảng cách từ tàu đến A.

c) Đổi 500 m = 0,5 km = \(\frac{1}{2}\) km

Để khoảng cách từ tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O 500 m thì

\(\sqrt {{x^2} - 2x + 4} = x - \frac{1}{2}\)

x2 – 2x + 4 = x2 – x + \(\frac{1}{4}\)

– x = \( - \frac{{15}}{4}\).

x = \(\frac{{15}}{4}\).

Vậy x = \(\frac{{15}}{4}\) thì khoảng cách từ tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O 500 m.

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB ngắn hơn AC là 2cm. a) Biểu diễn độ dài cạnh huyền BC (ảnh 1)

Gọi AB = x (cm) (x > 0)

Vì AB ngắn hơn AC là 2cm nên AC = x + 2 (cm).

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, có:

BC2 = AB2 + AC2 (định lí Py – ta – go)

BC2 = x2 + (x + 2)2

BC2 = x2 + x2 + 4x + 4

BC2 = 2x2 + 4x + 4

BC = \(\sqrt {2{x^2} + 4x + 4} \) (cm)

Vậy BC = \(\sqrt {2{x^2} + 4x + 4} \) (cm).

b) Chu vi của tam giác ABC là:

AB + AC + BC = x + x + 2 + \(\sqrt {2{x^2} + 4x + 4} \) = 2x + 2 + \(\sqrt {2{x^2} + 4x + 4} \) (cm).

Mà chu vi của tam giác ABC là 24cm nên ta có phương trình:

2x + 2 + \(\sqrt {2{x^2} + 4x + 4} \) = 24

\(\sqrt {2{x^2} + 4x + 4} \) = 22 – 2x

2x2 + 4x + 4 = 484 – 88x + 4x2

2x2 – 92x + 480 = 0

x2 – 46x + 240 = 0

x = 40 và x = 6.

Thay lần lượt hai nghiệm vào phương trình đã cho ta thấy x = 6 thỏa mãn.

Với x = 6 thì AB = 6 cm, AC = 6 + 2 = 8 cm, BC = \(\sqrt {{{2.6}^2} + 4.6 + 4} = 10\) cm.

Vậy độ dài các cạnh của tam giác ABC lần lượt là AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10 cm.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP