Tìm giao các tập nghiệm của hai bất phương trình – 3x² + 7x + 10 ≥ 0 và – 2x² – 9x + 11 > 0.

Lời giải

Xét tam thức bậc hai f(x) = – 3x² + 7x + 10, có a = – 3 < 0 và ∆ = 7² – 4.(– 3).10 = 169 > 0.

Do đó tam thức có hai nghiệm phân biệt là x₁ = – 1 và x₂ = \(\frac{{10}}{3}\).

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có:

f(x) < 0 khi x ∈ \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {\frac{{10}}{3}; + \infty } \right)\);

f(x) > 0 khi x ∈ \(\left( { - 1;\frac{{10}}{3}} \right)\).

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình – 3x² + 7x + 10 ≥ 0 là S₁ = \(\left[ { - 1;\frac{{10}}{3}} \right]\).

Xét tam thức bậc hai g(x) = – 2x² – 9x + 11, có a = – 2 < 0 và ∆ = (– 9)² – 4.(– 2).11 = 169 > 0.

Do đó tam thức có hai nghiệm phân biệt là x₁ = 1 và x₂ = \( - \frac{{11}}{2}\).

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có:

g(x) < 0 khi x ∈ \(\left( { - \infty ; - \frac{{11}}{2}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\);

g(x) > 0 khi x ∈ \(\left( { - \frac{{11}}{2};1} \right)\).

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình – 2x² – 9x + 11 > 0 là S₂ = \(\left( { - \frac{{11}}{2};1} \right)\).

Đặt S = S₁ ∩ S₂ = \(\left[ { - 1;\frac{{10}}{3}} \right] \cap \left( { - \frac{{11}}{2};1} \right)\).

Ta có hình vẽ sau:

Vậy giao của hai tập nghiệm của hai bất phương trình trên là S = [ – 1; 1).