Giải SGK Toán 12 Bài 14. Phương trình mặt phẳng

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Thời điểm t = 0, vật ở vị trí M₁(1; 1; 1).

Thời điểm \(t = \frac{\pi }{2}\), vật ở vị trí M₂(−1; 1; 0).

Thời điểm t = π, vật ở vị trí M₃(−1; −1; −1).

Có \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 2;0; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{M_1}{M_3}} = \left( { - 2; - 2; - 2} \right)\) không cùng phương nên ba điểm M₁, M₂, M₃ không thẳng hàng.

Mặt phẳng (M₁M₂M₃) có \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 2;0; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{M_1}{M_3}} = \left( { - 2; - 2; - 2} \right)\) là cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2; - 2;4} \right)\).

Mặt phẳng (M₁M₂M₃) đi qua M₁(1; 1; 1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 2; - 2;4} \right)\) có phương trình là: −2(x – 1) – 2(y – 1) + 4(z – 1) = 0 hay 2x + 2y – 4z = 0.

Ta có 2(cost – sint) + 2(cost + sint) – 4 cost = 0 nên vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng (M₁M₂M₃).

Do đó vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng 2x + 2y – 4z = 0.

Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì $\overrightarrow{n}$ có phương thẳng đứng, vuông góc với mặt bàn.

Vì (α) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nên giá của $\overrightarrow{AB}\perp \left(\alpha \right)$.

Do đó $\overrightarrow{AB}=\left(-4;2;-2\right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

a) Ta có \(\overrightarrow n .\overrightarrow u = \left( {bc' - b'c} \right).a + \left( {ca' - c'a} \right).b + \left( {ab' - a'b} \right).c\)

= bc'a – b'ca + ca'b – c'ab + ab'c – a'bc

= (bc'a – c'ab) + (ab'c – b'ca) + (ca'b – a'bc)

= 0.

Do đó vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow u \).

Ta có \(\overrightarrow n .\overrightarrow v = \left( {bc' - b'c} \right).a' + \left( {ca' - c'a} \right).b' + \left( {ab' - a'b} \right).c'\)

= bc'a' – b'ca' + ca'b' – c'ab' + ab'c' – a'bc'

= (bc'a' – c'a'b) + (ab'c' – b'c'a) + (ca'b' – a'b'c)

= 0.

Do đó vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow v \).

Suy ra vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với cả 2 vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).

b) Nếu \(\overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) thì \(\left\{ \begin{array}{l}bc' - b'c = 0\\ca' - c'a = 0\\ab' - a'b = 0\end{array} \right.\) (I).

+) Nếu a = b = c = 0 thì (I) luôn đúng khi đó \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương với nhau.

+) Nếu a ≠ 0; b ≠ 0; c ≠ 0 thì (I) ta suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{b'}}{b} = \frac{{c'}}{c}\\\frac{{a'}}{a} = \frac{{c'}}{c}\\\frac{{a'}}{a} = \frac{{b'}}{b}\end{array} \right.\).

Do đó, a' = ka; b' = kb, c' = kc (k ∈ ℝ).

Suy ra \(\overrightarrow v = k\overrightarrow u \). Do đó \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương với nhau.

Vậy \(\overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương.

Ta có $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 6& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 6\end{array}\right|\right)=\left(0;0;0\right)$.

a) Vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \).

b) Hai vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P) mà \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) có giá vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) nên giá của vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) vuông góc với mặt phẳng (P). Suy ra mặt phẳng (P) nhận vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;3; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;5;1} \right)\) là các vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (ABC) nhận vectơ \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 1}\\5&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 3}\\1&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&3\\{ - 3}&5\end{array}} \right|} \right) = \left( {8;6; - 6} \right)\).

a) Ta có \(\overrightarrow M = \left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right]\)\( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}y&z\\b&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}z&x\\c&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}x&y\\a&b\end{array}} \right|} \right)\)\( = \left( {yc - bz;za - cx;bx - ay} \right)\).

b) Vì \(\overrightarrow {OP'} = 2\overrightarrow {OP} \) nên \(2\overrightarrow {OP} = \left( {2x;2y;2z} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {M'} = \left[ {\overrightarrow {OP'} ,\overrightarrow F } \right]\)\( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2y}&{2z}\\b&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2z}&{2x}\\c&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2x}&{2y}\\a&b\end{array}} \right|} \right)\)

\( = \left( {2yc - b2z;2za - 2cx;2bx - 2ay} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {M'} = 2\overrightarrow M \).

Vậy giữ nguyên lực tác động \(\overrightarrow F \) trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P' sao cho \(\overrightarrow {OP'} = 2\overrightarrow {OP} \) thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi.

Kết luận: Từ kết quả trên, ta có thể rút ra rằng để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc, ta nên tăng khoảng cách từ điểm tác dụng lực đến trục quay (điểm O).